Por que em trechos de uma viga sob uma mesma força transversal uniformemente distribuída os correspondentes trechos do diagrama de esforço cortante são paralelos?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que, quando dois (ou mais) trechos de uma viga estão submetidos à mesma carga transversal distribuída uniforme, os trechos correspondentes no diagrama de esforço cortante aparecem como retas paralelas.
Informações dadas/implícitas:
- Existe uma carga distribuída transversal com intensidade uniforme, denotada por
(força por unidade de comprimento) sobre os trechos considerados. - O diagrama de esforço cortante a que se refere é a função
que dá o esforço cortante interno ao longo da viga em função da abscissa . - Não há necessidade de valores numéricos específicos para entender a razão geométrica (paralelismo) dos trechos do diagrama.
Passo 2
Definição e equilíbrio de um pequeno elemento: considere um elemento da viga entre
e
. Sobre esse elemento atuam:
- o esforço cortante interno à esquerda
(positividade segundo convenção adotada); - o esforço cortante interno à direita
; - a carga distribuída atuando no elemento, de intensidade
, totalizando uma força (assumindo constante nesse trecho).
Aplicando o equilíbrio vertical de forças (soma das forças verticais igual a zero) ao elemento:
Reescrevendo:
Passo 3
Passagem ao limite diferencial: dividindo por
e fazendo
obtém-se a relação diferencial fundamental entre carga distribuída e esforço cortante:
Interpretação dessa equação: a derivada
é a inclinação (a taxa de variação) do gráfico
. Portanto, a inclinação do diagrama de esforço cortante num ponto é exatamente
.
Passo 4
Consequência quando
é constante: se
é uniforme ao longo de um trecho, então
é constante nesse trecho. Uma função com derivada constante é uma função linear; logo, no trecho considerado
onde
é uma constante de integração que depende das condições (valores de
em algum ponto daquele trecho). Assim o gráfico de
nesse trecho é uma reta de coeficiente angular
.
Passo 5
Por que são paralelas entre si: duas retas que têm o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) são retas paralelas; aqui, qualquer trecho do diagrama correspondente a uma região onde a carga distribuída é a mesma e constante terá coeficiente angular
idêntico. A diferença entre esses trechos fica apenas no termo constante
(deslocamento vertical), o que desloca a reta para cima ou para baixo sem alterar a inclinação -> retas paralelas.
Interpretação física e observação final: fisicamente, uma carga distribuída uniforme faz o esforço cortante variar a uma taxa fixa ao longo do comprimento (a cada metro, o corte muda sempre pela mesma quantidade), por isso a representação gráfica é uma reta com inclinação fixa. Se dois trechos têm exatamente a mesma intensidade
, ambos têm a mesma taxa de variação de
e portanto suas retas no diagrama são paralelas. Pontos de descontinuidade no diagrama (saltos) ocorrem por cargas concentradas; caso contrário, apenas haverá retas com a mesma inclinação.
Resposta
Porque vale
; se
é constante em vários trechos então
é a mesma constante nesses trechos, logo
em cada trecho — retas com igual inclinação e, portanto, paralelas.