Por que em trechos de uma viga sob uma mesma força transversal uniformemente distribuída os correspondentes trechos do diagrama de esforço cortante são paralelos?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que, quando dois (ou mais) trechos de uma viga estão submetidos à mesma carga transversal distribuída uniforme, os trechos correspondentes no diagrama de esforço cortante aparecem como retas paralelas.
Informações dadas/implícitas:
  • Existe uma carga distribuída transversal com intensidade uniforme, denotada por q (força por unidade de comprimento) sobre os trechos considerados.
  • O diagrama de esforço cortante a que se refere é a função V(x) que dá o esforço cortante interno ao longo da viga em função da abscissa x.
  • Não há necessidade de valores numéricos específicos para entender a razão geométrica (paralelismo) dos trechos do diagrama.

Passo 2

Definição e equilíbrio de um pequeno elemento: considere um elemento da viga entre x e x+\mathrm{d}x. Sobre esse elemento atuam:
  • o esforço cortante interno à esquerda V(x) (positividade segundo convenção adotada);
  • o esforço cortante interno à direita V(x+\mathrm{d}x);
  • a carga distribuída atuando no elemento, de intensidade q, totalizando uma força q\,\mathrm{d}x (assumindo q constante nesse trecho).
Aplicando o equilíbrio vertical de forças (soma das forças verticais igual a zero) ao elemento:
V(x) - V(x+\mathrm{d}x) - q\,\mathrm{d}x = 0.
Reescrevendo:
V(x+\mathrm{d}x)-V(x) = -q\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Passagem ao limite diferencial: dividindo por \mathrm{d}x e fazendo \mathrm{d}x\to0 obtém-se a relação diferencial fundamental entre carga distribuída e esforço cortante:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -q.
Interpretação dessa equação: a derivada \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} é a inclinação (a taxa de variação) do gráfico V(x). Portanto, a inclinação do diagrama de esforço cortante num ponto é exatamente -q.

Passo 4

Consequência quando q é constante: se q é uniforme ao longo de um trecho, então \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} é constante nesse trecho. Uma função com derivada constante é uma função linear; logo, no trecho considerado
V(x) = -q\,x + C,
onde C é uma constante de integração que depende das condições (valores de V em algum ponto daquele trecho). Assim o gráfico de V(x) nesse trecho é uma reta de coeficiente angular -q.

Passo 5

Por que são paralelas entre si: duas retas que têm o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) são retas paralelas; aqui, qualquer trecho do diagrama correspondente a uma região onde a carga distribuída é a mesma e constante terá coeficiente angular -q idêntico. A diferença entre esses trechos fica apenas no termo constante C (deslocamento vertical), o que desloca a reta para cima ou para baixo sem alterar a inclinação -> retas paralelas.
Interpretação física e observação final: fisicamente, uma carga distribuída uniforme faz o esforço cortante variar a uma taxa fixa ao longo do comprimento (a cada metro, o corte muda sempre pela mesma quantidade), por isso a representação gráfica é uma reta com inclinação fixa. Se dois trechos têm exatamente a mesma intensidade q, ambos têm a mesma taxa de variação de V e portanto suas retas no diagrama são paralelas. Pontos de descontinuidade no diagrama (saltos) ocorrem por cargas concentradas; caso contrário, apenas haverá retas com a mesma inclinação.

Resposta

Porque vale \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=-q; se q é constante em vários trechos então \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} é a mesma constante nesses trechos, logo V(x)=-q\,x+C em cada trecho — retas com igual inclinação e, portanto, paralelas.

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