7.6 Um trem de engrenagens tem o eixo A ao qual são enchavetadas as engrenagens 1 e 2 , um eixo intermediário B com uma engrenagem composta deslizante 3, 4, 5 e um eixo C ao qual são enchavetadas as engrenagens 6 e 7 . As engrenagens são numeradas da esquerda para a direita e são todas cilíndricas de dentes retos com distância entre centros de 12 pol e diametral pitch 5. A engrenagem composta pode ser deslocada para a esquerda para dar uma relação de velocidades de 5: 1 através das engrenagens 1,4,3,6 ou para a direita para dar uma relação de 25: 9 através das engrenagens 2,4,5,7. Faça um esboço do conjunto e calcule o número de dentes em cada engrenagem se z_{5}=z_{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um trem de engrenagens com três eixos: o eixo A (com engrenagens 1 e 2), o eixo intermediário B (com engrenagens compostas 3, 4, 5 deslizantes) e o eixo C (com engrenagens 6 e 7). Todas as engrenagens são cilíndricas de dentes retos, têm diametral pitch P = 5 e as distâncias entre centros de eixos adjacentes valem 12 pol. A composição deslizante pode ser posicionada para dar razão de velocidades 5:1 pelo trem 1–4–3–6 ou 25:9 pelo trem 2–4–5–7. Sabe-se que z_{5}=z_{2}. Vamos usar as relações de centro de engrenagens e as razões de transmissão para achar z_{1},z_{2},\dots,z_{7}.

Passo 2

Para duas engrenagens i e j em engrenamento, a distância entre centros C satisfaz
C = \frac{D_i + D_j}{2}
onde D_i = z_i/P. Como C=12 e P=5, segue
\frac{z_i + z_j}{2\cdot 5} = 12 \quad\Longrightarrow\quad z_i + z_j = 120.
Assim obtemos as quatro sumas de dentes:
z_1 + z_4 = 120,\quad z_3 + z_6 = 120,\quad z_2 + z_4 = 120,\quad z_5 + z_7 = 120.

Passo 3

Como z_5 = z_2, das duas equações envolvendo z_2,z_4 e z_5,z_7 concluímos
z_1 = z_2 = z_5 \quad\text{e}\quad z_4 = z_7.

Passo 4

A razão de transmissão pelo caminho 1–4–3–6 (esquerda) é
\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{z_4}{z_1}\,\frac{z_6}{z_3} =5,
e pelo caminho 2–4–5–7 (direita) é
\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{z_4}{z_2}\,\frac{z_7}{z_5} =\frac{25}{9}.
Substituindo z_1=z_2=z_5 e z_4=z_7, a razão direita vira
\Bigl(\frac{z_4}{z_1}\Bigr)^2 = \frac{25}{9}.

Passo 5

Da equação
\bigl(z_4/z_1\bigr)^2 = 25/9
temos z_4/z_1 = 5/3. Como também z_1 + z_4 = 120, escrevemos
z_4 = \tfrac{5}{3}z_1 \quad\Longrightarrow\quad z_1 + \tfrac{5}{3}z_1 = 120 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{8}{3}z_1 = 120 \quad\Longrightarrow\quad z_1 = 45.
Logo
z_4 = 120 - z_1 = 75, \quad z_2 = z_5 = 45, \quad z_7 = z_4 = 75.

Passo 6

Agora da razão esquerda
\frac{z_4}{z_1}\,\frac{z_6}{z_3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{75}{45}\,\frac{z_6}{z_3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{3}\,\frac{z_6}{z_3} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z_6}{z_3} = 3.
E como z_3 + z_6 = 120, temos z_6 = 3z_3 e
z_3 + 3z_3 =120 \quad\Longrightarrow\quad 4z_3 =120 \quad\Longrightarrow\quad z_3 =30, \quad z_6 =90.

Resposta

z_{1}=45,\;z_{2}=45,\;z_{3}=30,\;z_{4}=75,\;z_{5}=45,\;z_{6}=90,\;z_{7}=75.

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