Um trem viaja para o sul a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada pelo vento também para o sul. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 70^{\circ} com a vertical, quando medida de um observador estacionário ao solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gostas caírem verticalmente. Determine o módulo da velocidade das gotas de chuva em relação ao solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Um trem move-se para o sul com velocidade 20\\ \mathrm{m/s} em relação ao solo.
  • A chuva (as gotas) é soprada pelo vento também para o sul, e a trajetória de cada gota, vista por um observador no solo, forma um ângulo de 70^\circ com a vertical.
  • Um observador dentro do trem vê as gotas caírem verticalmente (ou seja, sem componente horizontal no referencial do trem).
Pergunta: determine o módulo da velocidade das gotas em relação ao solo, isto é, encontre v = |\vec{v}_{\text{gota, solo}}|.

Passo 2

Definimos um sistema de referência e as velocidades vetoriais para ficar claro:
  • Escolhemos o eixo x apontando para o sul (horizontal) e o eixo y apontando para baixo (vertical).
  • Seja \vec{v} a velocidade da gota em relação ao solo. Escrevemos suas componentes como \vec{v}=(v_x,v_y), com v_x para o sul e v_y para baixo.
  • A velocidade do trem em relação ao solo é \vec{v}_t=(20\\ \mathrm{m/s},0).
  • A velocidade da gota no referencial do trem (velocidade relativa) é \vec{v}_{\text{rel}}=\vec{v}-\vec{v}_t.
Explicação rápida do conceito usado: a velocidade relativa é simplesmente a diferença entre as velocidades no mesmo referencial. Aqui, a gota vista do trem tem velocidade igual à velocidade da gota no solo menos a velocidade do trem.

Passo 3

Usamos a observação “no trem, as gotas caem verticalmente”. Isso significa que, no referencial do trem, a componente horizontal da velocidade da gota é zero. Em termos das componentes:
v_{x,\text{rel}} = v_x - 20 = 0.
Logo:
v_x = 20\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: do ponto de vista do solo, a gota tem componente horizontal de 20\\ \mathrm{m/s} para o sul — exatamente igual à velocidade do trem — por isso, para quem está no trem, não há movimento horizontal relativo.

Passo 4

Agora usamos o ângulo que a trajetória faz com a vertical, medido por um observador no solo. Se a trajetória forma um ângulo \theta=70^\circ com a vertical, então a componente horizontal e o módulo da velocidade estão relacionados por:
\sin\theta = \frac{\text{componente horizontal}}{\text{módulo da velocidade}} = \frac{v_x}{v}.ó
Portanto:
v = \frac{v_x}{\sin\theta}.
Aqui cada símbolo significa: \theta é o ângulo entre a direção vertical e a trajetória, v_x é a componente horizontal (sul) da velocidade da gota medida no solo, e v é o módulo que queremos.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos: v_x=20\\ \mathrm{m/s} e \theta=70^\circ. Assim:
v = \frac{20\\ \mathrm{m/s}}{\sin 70^\circ}.
Calculando numericamente \sin 70^\circ\approx 0{,}9396926, obtemos
v \approx \frac{20}{0{,}9396926}\\ \mathrm{m/s} \approx 21{,}28\\ \mathrm{m/s}.
Se você preferir arredondar para uma casa decimal (suficiente para a maioria das provas): v \approx 21{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

21{,}28\\ \mathrm{m/s}

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