1. Um trenó, carregado de pingüins, pesando 80 N está em repouso sobre um plano inclinado de 20^{\circ} em relação à horizontal. Entre o trenó e o plano inclinado, o coeficiente de atrito estático é de 0,25 e o cinético é de 0,15 . (a) Qual a intensidade mínima da força \vec{F}, paralela ao plano, que poderá evitar que o trenó deslize para baixo do plano? (b) Qual a intensidade mínima da força \vec{F}, paralela ao plano para iniciar o movimento do trenó para cima do plano? (c) Qual o valor de \vec{F} necessário para mover o trenó para cima do plano, com velocidade constante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o ângulo mostrado na imagem).
Dados fornecidos:
  • Peso do trenó: W=80\\ \text{N}.
  • Inclinação do plano: \theta=20^\circ (extraído da imagem).
  • Coeficiente de atrito estático: \mu_s=0,25.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k=0,15.
  • A força \vec{F} é aplicada paralela ao plano (sentido para cima do plano, conforme a seta da imagem).
As perguntas:
(a) Qual a intensidade mínima de \vec{F}, paralela ao plano, que impede que o trenó deslize para baixo?
(b) Qual a intensidade mínima de \vec{F}, paralela ao plano, para iniciar o movimento do trenó para cima?
(c) Qual o valor de \vec{F} necessário para mover o trenó para cima com velocidade constante?

Passo 2

Entendendo as forças e decompondo o peso: explicação didática.
  • O peso W age verticalmente para baixo. Em um plano inclinado é útil decompor W em duas componentes: uma perpendicular ao plano (que determina a força normal) e outra paralela ao plano (que tende a fazer o corpo deslizar).
  • A componente do peso paralela ao plano tem intensidade
W_{\parallel}=W\sin\theta,
onde W é o peso e \theta o ângulo do plano com a horizontal.
  • A componente do peso perpendicular ao plano tem intensidade
W_{\perp}=W\cos\theta.
Essa componente é equilibrada pela força normal N (assumimos que não há aceleração perpendicular ao plano), logo N=W_{\perp}.
Agora calculamos numericamente essas componentes usando os dados (todas as contas mostradas para você poder repetir na prova):
\sin20^\circ\approx0,3420,\qquad \cos20^\circ\approx0,9397.
W_{\parallel}=80\sin20^\circ \approx 80\times0,3420 = 27,36\\ \text{N}.
N=W_{\perp}=80\cos20^\circ \approx 80\times0,9397 = 75,18\\ \text{N}.

Passo 3

Entendendo atrito estático e cinético (fórmulas e interpretação).
  • Atrito estático máximo: f_{s,\max}=\mu_s N,
é a maior força de atrito que pode surgir sem que o objeto comece a se mover. Sua direção é sempre oposta à tendência de deslizamento.
  • Atrito cinético (quando há movimento) tem intensidade
f_k=\mu_k N,
sempre atuando contrariamente ao movimento real.
Calculando os valores numéricos:
f_{s,\max}=\mu_s N = 0,25\times75,18 \approx 18,79\\ \text{N}.
f_k=\mu_k N = 0,15\times75,18 \approx 11,28\\ \text{N}.

Passo 4

(a) Força mínima \vec{F} para evitar que o trenó deslize para baixo: raciocínio.
  • Se não aplicarmos força, a tendência é deslizar para baixo devido a W_{\parallel}=27,36\\ \text{N}.
  • O atrito estático pode fornecer até f_{s,\max}=18,79\\ \text{N} para impedir esse deslizamento, atuando para cima do plano.
  • Se f_{s,\max} for menor que W_{\parallel}, precisamos de uma força adicional F para completar o equilíbrio, também aplicada para cima do plano.
  • Condição de equilíbrio (sem deslizar para baixo): forças para cima do plano (atrio + F) devem ser iguais a W_{\parallel} (para baixo). Assim, a mínima F necessária satisfaz
F + f_{s,\max} = W_{\parallel}.
  • Isolando F:
F = W_{\parallel} - f_{s,\max}.
Substituindo os números:
F \approx 27,36 - 18,79 = 8,57\\ \text{N}.
(Isto é o valor mínimo — se F for menor, a soma F+f_s não chega a equilibrar W_{\parallel} e o trenó desliza para baixo.)

Passo 5

(b) Força mínima \vec{F} para iniciar o movimento para cima: raciocínio.
  • Para iniciar movimento para cima, a força aplicada F precisa vencer tanto a componente do peso para baixo W_{\parallel} quanto o atrito estático que agora age para baixo (pois a tendência de movimento é para cima).
  • Assim, a condição para começar a mover-se para cima é:
F \ge W_{\parallel} + f_{s,\max}.
  • Substituindo os valores:
F \approx 27,36 + 18,79 = 46,15\\ \text{N}.
(Para iniciar o movimento, F tem que ser ligeiramente maior que este valor; o valor calculado é o limite teórico.)

Passo 6

(c) Força \vec{F} para mover o trenó para cima com velocidade constante: raciocínio e cálculo.
  • Com movimento para cima já estabelecido e velocidade constante, a aceleração é zero. Portanto a soma das forças ao longo do plano deve ser zero.
  • Agora o atrito que age é o atrito cinético f_k, de intensidade 11,28\\ \text{N}, e atua para baixo do plano (oposto ao movimento para cima).
  • Equilíbrio das forças na direção do plano dá:
F - W_{\parallel} - f_k = 0 \quad\Rightarrow\quad F = W_{\parallel} + f_k.
  • Substituindo os valores:
F \approx 27,36 + 11,28 = 38,64\\ \text{N}.
(Este é o valor que precisa ser mantido para que o trenó suba com velocidade constante.)

Resposta

8,57\\ \text{N}
46,15\\ \text{N}
38,64\\ \text{N}

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