1. Um pequeno objeto, abandonado do repouso no ponto \mathbf{P}, desliza ao longo de um “loop” sem atrito, de raio R. No ponto mais alto do “loop” (ponto A) a velocidade do objeto é v=\sqrt{2 R g}. No ponto C a velocidade do objeto é \sqrt{2} v e no ponto mais baixo (ponto B) a velocidade vale \sqrt{3} v. Determine a razão entre as forças exercidas sobre o objeto pela parede do “loop” (a) nos pontos C e A ( \mathrm{N}_{\mathrm{C}} / \mathrm{N}_{\mathrm{A}} ) e (b) nos pontos B e A ( \mathrm{N}_{\mathrm{B}} / \mathrm{N}_{\mathrm{A}} ).

Passo 1

O enunciado dá um pequeno objeto que desliza sem atrito por um loop de raio R. Os pontos importantes são A (topo), B (fundo) e C (lado horizontal). As informações fornecidas (peguei do enunciado/figura) são:
  • No ponto A (topo) a velocidade é v_A = v = \sqrt{2 R g}.
  • No ponto C (lado) a velocidade é v_C = \sqrt{2}\,v.
  • No ponto B (fundo) a velocidade é v_B = \sqrt{3}\,v.
  • Não há atrito e o raio do loop é R.
    O enunciado pede:
    (a) a razão \mathrm{N}_{C}/\mathrm{N}_{A};
    (b) a razão \mathrm{N}_{B}/\mathrm{N}_{A}.
    Aqui \mathrm{N}_X é a intensidade da força normal exercida pela parede do loop sobre o objeto no ponto X.

Passo 2

Conceito principal que vamos usar (aula rápida):
  • Para um movimento circular de raio R com velocidade instantânea v, a aceleração centrípeta tem módulo \dfrac{v^{2}}{R} e está dirigida para o centro da curva.
  • A segunda lei de Newton na direção radial (tomando como sinal positivo a direção para o centro) é
\sum F_{\text{radial}} = m\frac{v^{2}}{R},
onde m é a massa do objeto.
  • No problema as forças radiais relevantes são a força normal \mathrm{N} (sempre dirigida pela parede, isto é, apontando para o centro quando o objeto está colado à parede) e a componente radial do peso \vec{P}=m\vec{g}. Dependendo do ponto, o peso pode somar ou subtrair à normal na direção radial.
Vou aplicar essa ideia em cada ponto, desenhando mentalmente o diagrama de forças:
  • No topo A: direção radial para o centro é para baixo; tanto \mathrm{N}_A quanto m g apontam para baixo (contribuem para a força centrípeta).
  • No fundo B: direção radial para o centro é para cima; \mathrm{N}_B aponta para cima (para o centro) e m g aponta para baixo (contrária ao centro).
  • No ponto lateral C: direção radial é horizontal; o peso m g é vertical e não tem componente radial, então apenas \mathrm{N}_C fornece a força centrípeta.

Passo 3

Equação no ponto A (topo). Tomando positivo para baixo (para o centro):
\mathrm{N}_A + m g = m\frac{v_A^{2}}{R}.
Isolando \mathrm{N}_A:
\mathrm{N}_A = m\frac{v_A^{2}}{R} - m g.
Agora uso v_A = v = \sqrt{2 R g}. Calculo v_A^{2}:
v_A^{2} = (\sqrt{2 R g})^{2} = 2 R g.
Substituindo:
\mathrm{N}_A = m\frac{2 R g}{R} - m g = 2 m g - m g = m g.
Portanto \mathrm{N}_A = m g. (Bom: a normal no topo aqui resulta ser igual ao peso.)

Passo 4

Equação no ponto C (lado). Na direção radial (horizontal) o peso não contribui, então:
\mathrm{N}_C = m\frac{v_C^{2}}{R}.
Usando v_C = \sqrt{2}\,v e v^{2}=v_A^{2}=2 R g, temos
v_C^{2} = (\sqrt{2}\,v)^{2} = 2 v^{2} = 2\cdot(2 R g) = 4 R g.
Logo
\mathrm{N}_C = m\frac{4 R g}{R} = 4 m g.

Passo 5

Equação no ponto B (fundo). Tomando positivo para cima (direção para o centro), o peso é para baixo, então:
\mathrm{N}_B - m g = m\frac{v_B^{2}}{R}.
Isolando \mathrm{N}_B:
\mathrm{N}_B = m\frac{v_B^{2}}{R} + m g.
Usando v_B = \sqrt{3}\,v e v^{2}=2 R g:
v_B^{2} = (\sqrt{3}\,v)^{2} = 3 v^{2} = 3\cdot(2 R g) = 6 R g.
Portanto
\mathrm{N}_B = m\frac{6 R g}{R} + m g = 6 m g + m g = 7 m g.

Passo 6

Agora calculo as razões pedidas:
  • Para \mathrm{N}_C/\mathrm{N}_A:
\frac{\mathrm{N}_C}{\mathrm{N}_A} = \frac{4 m g}{m g} = 4.
  • Para \mathrm{N}_B/\mathrm{N}_A:
\frac{\mathrm{N}_B}{\mathrm{N}_A} = \frac{7 m g}{m g} = 7.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{N}_C}{\mathrm{N}_A}=4
\displaystyle \frac{\mathrm{N}_B}{\mathrm{N}_A}=7

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