- Um pequeno objeto, abandonado do repouso no ponto
, desliza ao longo de um “loop” sem atrito, de raio
. No ponto mais alto do “loop” (ponto A) a velocidade do objeto é
. No ponto C a velocidade do objeto é
e no ponto mais baixo (ponto B) a velocidade vale
. Determine a razão entre as forças exercidas sobre o objeto pela parede do “loop” (a) nos pontos C e A (
) e (b) nos pontos B e A (
).
Passo 1
O enunciado dá um pequeno objeto que desliza sem atrito por um loop de raio
. Os pontos importantes são A (topo), B (fundo) e C (lado horizontal). As informações fornecidas (peguei do enunciado/figura) são:
- No ponto A (topo) a velocidade é
. - No ponto C (lado) a velocidade é
. - No ponto B (fundo) a velocidade é
. - Não há atrito e o raio do loop é
.
O enunciado pede:
(a) a razão;
(b) a razão.
Aquié a intensidade da força normal exercida pela parede do loop sobre o objeto no ponto .
Passo 2
Conceito principal que vamos usar (aula rápida):
- Para um movimento circular de raio
com velocidade instantânea , a aceleração centrípeta tem módulo e está dirigida para o centro da curva. - A segunda lei de Newton na direção radial (tomando como sinal positivo a direção para o centro) é
onde
é a massa do objeto.
- No problema as forças radiais relevantes são a força normal
(sempre dirigida pela parede, isto é, apontando para o centro quando o objeto está colado à parede) e a componente radial do peso . Dependendo do ponto, o peso pode somar ou subtrair à normal na direção radial.
Vou aplicar essa ideia em cada ponto, desenhando mentalmente o diagrama de forças:
- No topo A: direção radial para o centro é para baixo; tanto
quanto apontam para baixo (contribuem para a força centrípeta). - No fundo B: direção radial para o centro é para cima;
aponta para cima (para o centro) e aponta para baixo (contrária ao centro). - No ponto lateral C: direção radial é horizontal; o peso
é vertical e não tem componente radial, então apenas fornece a força centrípeta.
Passo 3
Equação no ponto A (topo). Tomando positivo para baixo (para o centro):
Isolando
:
Agora uso
. Calculo
:
Substituindo:
Portanto
. (Bom: a normal no topo aqui resulta ser igual ao peso.)
Passo 4
Equação no ponto C (lado). Na direção radial (horizontal) o peso não contribui, então:
Usando
e
, temos
Logo
Passo 5
Equação no ponto B (fundo). Tomando positivo para cima (direção para o centro), o peso é para baixo, então:
Isolando
:
Usando
e
:
Portanto
Passo 6
Agora calculo as razões pedidas:
- Para
:
- Para
: