Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
b) No máximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?
d) Em um grupo de 20 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
b) No máximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?
d) Em um grupo de 20 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade e distribuição binomial. Temos três partes principais: calcular probabilidades específicas de alunos que fizeram cursinho antes do vestibular em grupos de 16 e também determinar o valor esperado e a variância em um grupo de 20 alunos. Para tudo isso, vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações com dois resultados possíveis (fizeram ou não fizeram cursinho) e eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar na distribuição binomial:
- n = número de ensaios (número de alunos selecionados)
- p = probabilidade de sucesso (probabilidade de um aluno ter feito cursinho)
- q = probabilidade de fracasso (não ter feito cursinho), onde q = 1 - p
No nosso caso:
- Para as partes a, b e c: n = 16, p = 3/4, então q = 1/4
- Para a parte d: n = 20, p = 3/4, então q = 1/4
Passo 3
Parte a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho
Queremos calcular a probabilidade de que 12 ou mais alunos tenham feito cursinho. Isso significa que vamos somar as probabilidades de exatamente 12, 13, 14, 15 e 16 alunos terem feito cursinho.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n ensaios.
Então, a probabilidade desejada é:
Vamos calcular cada termo:
Vamos calcular cada um:
Calculando as probabilidades:
Somando tudo:
Passo 4
Parte b) No máximo 13 tenham feito cursinho
Aqui, queremos a probabilidade de 13 ou menos alunos terem feito cursinho. Ou seja, queremos somar as probabilidades de 0 até 13 alunos terem feito cursinho.
Como já calculamos
e
na parte a, vamos calcular de 0 até 13.
No entanto, para facilitar, podemos calcular
, já que é mais rápido.
Já calculamos:
Então:
Passo 5
Parte c) Exatamente 12 tenham feito cursinho
Já calculamos essa parte na parte a:
Passo 6
Parte d) Número esperado e variância para 20 alunos
Aqui, queremos saber o número esperado de alunos que fizeram cursinho e a variância nesse grupo de 20.
Para distribuição binomial, o valor esperado (
) e a variância (
) são dados por:
Onde:
- n = 20
- p = 3/4
- q = 1/4
Calculando:
Resposta
a) A probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 13,43%.
b) A probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 99,07%.
c) A probabilidade de exatamente 12 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 9,1%.
d) Em um grupo de 20 alunos, o número esperado de alunos que fizeram cursinho é 15 e a variância é 3,75.
b) A probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 99,07%.
c) A probabilidade de exatamente 12 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 9,1%.
d) Em um grupo de 20 alunos, o número esperado de alunos que fizeram cursinho é 15 e a variância é 3,75.