Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
b) No máximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?
d) Em um grupo de 20 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade e distribuição binomial. Temos três partes principais: calcular probabilidades específicas de alunos que fizeram cursinho antes do vestibular em grupos de 16 e também determinar o valor esperado e a variância em um grupo de 20 alunos. Para tudo isso, vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações com dois resultados possíveis (fizeram ou não fizeram cursinho) e eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar na distribuição binomial:
  • n = número de ensaios (número de alunos selecionados)
  • p = probabilidade de sucesso (probabilidade de um aluno ter feito cursinho)
  • q = probabilidade de fracasso (não ter feito cursinho), onde q = 1 - p
No nosso caso:
  • Para as partes a, b e c: n = 16, p = 3/4, então q = 1/4
  • Para a parte d: n = 20, p = 3/4, então q = 1/4

Passo 3

Parte a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho

Queremos calcular a probabilidade de que 12 ou mais alunos tenham feito cursinho. Isso significa que vamos somar as probabilidades de exatamente 12, 13, 14, 15 e 16 alunos terem feito cursinho.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k q^n-k
Onde P(X >= 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n ensaios.
Então, a probabilidade desejada é:
P(X=12) = binom1612 (34)^12 (14)^4
Vamos calcular cada termo:
P(X=13) = binom1613 (34)^13 (14)^3
P(X=14) = binom1614 (34)^14 (14)^2
P(X=15) = binom1615 (34)^15 (14)^1
P(X=16) = binom1616 (34)^16 (14)^0
binom1612 = 1820
Vamos calcular cada um:
binom1613 = 560
binom1614 = 120
binom1615 = 16
binom1616 = 1
P(X=12) = 1820 times (34)^12 times (14)^4 approx 0,091
Calculando as probabilidades:
P(X=13) = 560 times (34)^13 times (14)^3 approx 0,034
P(X=14) = 120 times (34)^14 times (14)^2 approx 0,008
P(X=15) = 16 times (34)^15 times (14) approx 0,001
P(X=16) = 1 times (34)^16 approx 0,0003
P(X >= 12) approx 0,091 + 0,034 + 0,008 + 0,001 + 0,0003 approx 0,1343
Somando tudo:

Passo 4

Parte b) No máximo 13 tenham feito cursinho

Aqui, queremos a probabilidade de 13 ou menos alunos terem feito cursinho. Ou seja, queremos somar as probabilidades de 0 até 13 alunos terem feito cursinho.
Como já calculamos P(X <= 13) = 1 - [P(X=14) + P(X=15) + P(X=16)] e P(X=14) approx 0,008 na parte a, vamos calcular de 0 até 13.
No entanto, para facilitar, podemos calcular P(X=15) approx 0,001 , já que é mais rápido.
P(X=16) approx 0,0003
Já calculamos:
P(X <= 13) = 1 - (0,008 + 0,001 + 0,0003) = 1 - 0,0093 = 0,9907
Então:

Passo 5

Parte c) Exatamente 12 tenham feito cursinho

Já calculamos essa parte na parte a:
P(X=12) approx 0,091

Passo 6

Parte d) Número esperado e variância para 20 alunos

Aqui, queremos saber o número esperado de alunos que fizeram cursinho e a variância nesse grupo de 20.
Para distribuição binomial, o valor esperado ( mu = n times p ) e a variância ( sigma^2 = n times p times q ) são dados por:
mu = 20 times 34 = 15
sigma^2 = 20 times 34 times 14 = 20 times 316 = 6016 = 3,75
Onde:
  • n = 20
  • p = 3/4
  • q = 1/4
Calculando:

Resposta

a) A probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 13,43%.
b) A probabilidade de no máximo 13 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 99,07%.
c) A probabilidade de exatamente 12 alunos terem feito cursinho é aproximadamente 9,1%.
d) Em um grupo de 20 alunos, o número esperado de alunos que fizeram cursinho é 15 e a variância é 3,75.

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