Considere o modelo clássico de regressão linear normal
, onde
, para
, e os
são não-aleatórios. Suponha que
e
são respectivamente os estimadores de mínimos quadrados simples dos parâmetros da regressão
e
, obtidos a partir de uma amostra de
pares
.
b) Que conclusões podem ser tiradas da distribuição conjunta de
e
?
b) Que conclusões podem ser tiradas da distribuição conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um modelo clássico de regressão linear: $ Y_i = \alpha + \beta \cdot X_i + \varepsilon_i $, onde os erros $ \varepsilon_i $ seguem uma distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2 $, e os $ X_i $ não são aleatórios. A gente tem dois estimadores, $ a $ e $ b $, que são os estimadores de mínimos quadrados para $ \alpha $ e $ \beta $, respectivamente, baseados em uma amostra de $ n $ pares $ (X_i, Y_i) $. A pergunta é: Que conclusões podemos tirar da distribuição conjunta de $ a $ e $ b $?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os estimadores de mínimos quadrados. Eles são métodos para encontrar os melhores valores de $ \alpha $ e $ \beta $ que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, as diferenças entre os valores observados $ Y_i $ e os valores ajustados pela linha de regressão $ \alpha + \beta X_i $.
Passo 3
Sabemos que, sob as suposições dadas (erros normalmente distribuídos, variância constante, etc.), os estimadores $ a $ e $ b $ têm propriedades importantes. Eles são não viesados, o que significa que, em média, eles apontam para os verdadeiros valores de $ \alpha $ e $ \beta $.
Passo 4
Além disso, como os erros $ \varepsilon_i $ são normalmente distribuídos e os $ X_i $ não são aleatórios, os estimadores $ a $ e $ b $ também seguem uma distribuição normal. Mais especificamente, a distribuição conjunta de $ a $ e $ b $ é uma distribuição normal bivariada.
Passo 5
Essa distribuição conjunta nos dá informações sobre como $ a $ e $ b $ variam juntos. Por exemplo, podemos calcular a covariância entre $ a $ e $ b $, o que nos indica como a variação de um afeta o outro. Também nos permite construir intervalos de confiança conjuntos ou realizar testes de hipóteses sobre os parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $.
Resposta
A distribuição conjunta dos estimadores $ a $ e $ b $ é uma distribuição normal bivariada, onde ambos são estimadores não viesados de $ \alpha $ e $ \beta $, respectivamente, e possuem uma covariância que descreve como eles variam juntos. Isso permite analisar a relação entre $ a $ e $ b $ e realizar inferências estatísticas sobre os parâmetros do modelo de regressão.