Considere o modelo clássico de regressão linear normal Yi=alpha+beta cdot Xi+varepsiloni, onde varepsiloni sim N(0 ; sigma^2) ; E(varepsiloni varepsilonj)=0, para i neq j, e os Xi^prime s são não-aleatórios. Suponha que a e b são respectivamente os estimadores de mínimos quadrados simples dos parâmetros da regressão alpha e beta, obtidos a partir de uma amostra de n pares (Xi, Yi).
b) Que conclusões podem ser tiradas da distribuição conjunta de a e b ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um modelo clássico de regressão linear: $ Y_i = \alpha + \beta \cdot X_i + \varepsilon_i $, onde os erros $ \varepsilon_i $ seguem uma distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2 $, e os $ X_i $ não são aleatórios. A gente tem dois estimadores, $ a $ e $ b $, que são os estimadores de mínimos quadrados para $ \alpha $ e $ \beta $, respectivamente, baseados em uma amostra de $ n $ pares $ (X_i, Y_i) $. A pergunta é: Que conclusões podemos tirar da distribuição conjunta de $ a $ e $ b $?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os estimadores de mínimos quadrados. Eles são métodos para encontrar os melhores valores de $ \alpha $ e $ \beta $ que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, as diferenças entre os valores observados $ Y_i $ e os valores ajustados pela linha de regressão $ \alpha + \beta X_i $.

Passo 3

Sabemos que, sob as suposições dadas (erros normalmente distribuídos, variância constante, etc.), os estimadores $ a $ e $ b $ têm propriedades importantes. Eles são não viesados, o que significa que, em média, eles apontam para os verdadeiros valores de $ \alpha $ e $ \beta $.

Passo 4

Além disso, como os erros $ \varepsilon_i $ são normalmente distribuídos e os $ X_i $ não são aleatórios, os estimadores $ a $ e $ b $ também seguem uma distribuição normal. Mais especificamente, a distribuição conjunta de $ a $ e $ b $ é uma distribuição normal bivariada.

Passo 5

Essa distribuição conjunta nos dá informações sobre como $ a $ e $ b $ variam juntos. Por exemplo, podemos calcular a covariância entre $ a $ e $ b $, o que nos indica como a variação de um afeta o outro. Também nos permite construir intervalos de confiança conjuntos ou realizar testes de hipóteses sobre os parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $.

Resposta

A distribuição conjunta dos estimadores $ a $ e $ b $ é uma distribuição normal bivariada, onde ambos são estimadores não viesados de $ \alpha $ e $ \beta $, respectivamente, e possuem uma covariância que descreve como eles variam juntos. Isso permite analisar a relação entre $ a $ e $ b $ e realizar inferências estatísticas sobre os parâmetros do modelo de regressão.

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