Três cargas puntiformes distribuídas ao longo do eixo Oy ; uma carga
no ponto
, uma carga
na origem e uma carga
no ponto
. Esse arranjo é chamado de quadrupolo elétrico. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante em um ponto sobre o eixo Oy para y
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Eletrostática, mais especificamente envolvendo um quadrupolo elétrico. A gente tem três cargas puntiformes alinhadas no eixo Oy:
- Uma carga $ q $ no ponto $ y = a $
- Uma carga $ 2q $ na origem ($ y = 0 $)
- Outra carga $ q $ no ponto $ y = -a $
A pergunta é: qual é o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante em um ponto no eixo Oy para $ y > a $? Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e o Princípio da Superposição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Coulomb nos dá o campo elétrico $ E $ criado por uma carga puntiforme:
Onde:
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $)
- $ q $ é a carga
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo
Como estamos no eixo Oy e queremos o campo em um ponto $ y > a $, vamos calcular a distância de cada carga até esse ponto.
Passo 3
Vamos chamar o ponto onde queremos calcular o campo de $ P $, localizado em $ y = Y $ com $ Y > a $.
- A distância da carga $ q $ em $ y = a $ até $ P $ é $ Y - a $
- A distância da carga $ 2q $ na origem até $ P $ é $ Y $
- A distância da carga $ q $ em $ y = -a $ até $ P $ é $ Y + a $
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada carga no ponto $ P $:
- Campo da carga $ q $ em $ y = a $:
Como a carga é positiva, o campo aponta para longe dela, ou seja, na direção positiva de Oy.
- Campo da carga $ 2q $ na origem:
Também positivo e aponta na direção positiva de Oy.
- Campo da carga $ q $ em $ y = -a $:
Mais uma vez, positivo e aponta na direção positiva de Oy.
Passo 5
Usando o Princípio da Superposição, que diz que o campo total é a soma dos campos individuais, temos:
Substituindo os valores:
Podemos fatorar $ kq $ para simplificar:
Passo 6
Para deixar a expressão mais elegante, podemos combinar as frações. Vamos achar o denominador comum:
Mas isso fica complicado, então vamos deixar o campo total assim mesmo, já que já temos a soma clara dos três campos.
Resposta
O módulo do campo elétrico resultante no ponto $ P $ para $ y > a $ é dado por:
A direção do campo é ao longo do eixo Oy na direção positiva, e o sentido também é positivo de Oy. Portanto, o campo elétrico resultante aponta para cima no eixo Oy.