Três cargas puntiformes distribuídas ao longo do eixo Oy ; uma carga q no ponto y=a, uma carga 2 q na origem e uma carga q no ponto y=-a. Esse arranjo é chamado de quadrupolo elétrico. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante em um ponto sobre o eixo Oy para y >a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Eletrostática, mais especificamente envolvendo um quadrupolo elétrico. A gente tem três cargas puntiformes alinhadas no eixo Oy:
  • Uma carga $ q $ no ponto $ y = a $
  • Uma carga $ 2q $ na origem ($ y = 0 $)
  • Outra carga $ q $ no ponto $ y = -a $
A pergunta é: qual é o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico resultante em um ponto no eixo Oy para $ y > a $? Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e o Princípio da Superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Coulomb nos dá o campo elétrico $ E $ criado por uma carga puntiforme:
E
Onde:
  • $ k $ é a constante de Coulomb ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $)
  • $ q $ é a carga
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo
Como estamos no eixo Oy e queremos o campo em um ponto $ y > a $, vamos calcular a distância de cada carga até esse ponto.

Passo 3

Vamos chamar o ponto onde queremos calcular o campo de $ P $, localizado em $ y = Y $ com $ Y > a $.
  • A distância da carga $ q $ em $ y = a $ até $ P $ é $ Y - a $
  • A distância da carga $ 2q $ na origem até $ P $ é $ Y $
  • A distância da carga $ q $ em $ y = -a $ até $ P $ é $ Y + a $

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico de cada carga no ponto $ P $:
  1. Campo da carga $ q $ em $ y = a $:
P
Como a carga é positiva, o campo aponta para longe dela, ou seja, na direção positiva de Oy.
  1. Campo da carga $ 2q $ na origem:
q
Também positivo e aponta na direção positiva de Oy.
  1. Campo da carga $ q $ em $ y = -a $:
y = a
Mais uma vez, positivo e aponta na direção positiva de Oy.

Passo 5

Usando o Princípio da Superposição, que diz que o campo total é a soma dos campos individuais, temos:
Etotal = E1 + E2 + E3
Substituindo os valores:
Etotal = k q(Y - a)^2 + k 2qY^2 + k q(Y + a)^2
Podemos fatorar $ kq $ para simplificar:
kq

Passo 6

Para deixar a expressão mais elegante, podemos combinar as frações. Vamos achar o denominador comum:
(Y - a)^2(Y)^2(Y + a)^2
Mas isso fica complicado, então vamos deixar o campo total assim mesmo, já que já temos a soma clara dos três campos.

Resposta

O módulo do campo elétrico resultante no ponto $ P $ para $ y > a $ é dado por:
P
A direção do campo é ao longo do eixo Oy na direção positiva, e o sentido também é positivo de Oy. Portanto, o campo elétrico resultante aponta para cima no eixo Oy.

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