Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta. A carga q_{3}=5,0 \mathrm{nC} está na origem. A carga q_{2}=3,0 \mathrm{nC} está em x=4,00 \mathrm{~cm}. A carga q_{1} está em x=2,00 \mathrm{~cm}. Determine q_{1} (módulo e sinal), quando a força resultante sobre q_{3} for igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede que se determine q_1 (módulo e sinal) de modo que a força resultante sobre q_3 seja zero. Informações dadas:
  • q_3 = 5,0\\ \mathrm{nC}, localizada em x=0.
  • q_2 = 3,0\\ \mathrm{nC}, localizada em x=4,00\\ \mathrm{cm}.
  • q_1 está localizada em x=2,00\\ \mathrm{cm} (valor de q_1 a determinar).
    O objetivo é encontrar o valor numérico de q_1 (indicar sinal e magnitude) tal que a soma vetorial das forças sobre q_3 seja nula.

Passo 2

Converter posições em metros e calcular as distâncias relevantes entre cargas (vou pegar as posições no enunciado).
  • x_3 = 0.
  • x_1 = 2,00\\ \mathrm{cm} = 0,020\\ \mathrm{m}.
  • x_2 = 4,00\\ \mathrm{cm} = 0,040\\ \mathrm{m}.
    As distâncias entre q_3 e as outras cargas são
r_{13} = |x_1 - x_3| = 0,020\\ \mathrm{m}, \qquad r_{23} = |x_2 - x_3| = 0,040\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relembrando a lei que vamos usar: a Lei de Coulomb dá a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes
F = k\,\frac{|q\,q'|}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força (em newtons, \mathrm{N}),
  • k é a constante eletrostática k \approx 8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2},
  • q e q' são as cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre elas (em metros).
    Explicação de sinais e direção: a fórmula acima dá a magnitude; a direção depende dos sinais das cargas:
  • cargas de mesmo sinal se repelem (força dirigida para longe da outra carga);
  • cargas de sinais opostos se atraem (força dirigida em direção à outra carga).
    Como todas as cargas estão sobre a mesma reta, podemos tratar as forças como grandezas escalares com sinal (positivo para a direita, negativo para a esquerda).

Passo 4

Analisar a direção das forças sobre q_3 usando os sinais conhecidos (peguei q_2 e q_3 do enunciado).
  • q_3 é positiva ( q_3=5,0\\ \mathrm{nC}).
  • q_2 é positiva ( q_2=3,0\\ \mathrm{nC}) e está à direita de q_3. Cargas iguais se repelem, então a força de q_2 sobre q_3 é para a esquerda (direção negativa).
    Para que a força resultante sobre q_3 seja zero, a força de q_1 sobre q_3 deve ter a mesma magnitude e direção oposta (ou seja, para a direita, direção positiva). Isso implica que q_1 deve atrair q_3, então q_1 deve ter sinal oposto ao de q_3. Como q_3 é positivo, concluímos que q_1 deve ser negativo.

Passo 5

Agora igualar as magnitudes das forças para obter o valor de |q_1|. Usando Coulomb para as magnitudes das forças F_{13} e F_{23}:
F_{13} = k\,\frac{|q_1|\,|q_3|}{r_{13}^2}, \qquad F_{23} = k\,\frac{|q_2|\,|q_3|}{r_{23}^2}.
Para equilíbrio (força resultante zero) precisamos de F_{13}=F_{23}. Cancelando k e |q_3| dos dois lados, obtemos
\frac{|q_1|}{r_{13}^2}=\frac{|q_2|}{r_{23}^2}.
Logo
|q_1| = |q_2|\,\frac{r_{13}^2}{r_{23}^2}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (peguei r_{13}=0,020\\ \mathrm{m}, r_{23}=0,040\\ \mathrm{m} e q_2=3,0\\ \mathrm{nC}):
|q_1| = 3,0\\ \mathrm{nC}\times\left(\frac{0,020}{0,040}\right)^{\!2}.
Calcular a razão:
\frac{0,020}{0,040} = 0,5,\qquad (0,5)^2 = 0,25.
Portanto
|q_1| = 3,0\\ \mathrm{nC}\times 0,25 = 0,75\\ \mathrm{nC}.

Passo 7

Concluir o sinal: do Passo 4 concluímos que q_1 deve ser negativo para atrair q_3. Assim
q_1 = -\,0,75\\ \mathrm{nC}.
Podemos checar rapidamente: magnitudes das forças seriam iguais com esse valor e direções opostas, então a resultante sobre q_3 seria zero.

Resposta

q_1 = -\,0,75\\ \mathrm{nC}
|q_1| = 0,75\\ \mathrm{nC}

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