Questão 4 - Um pêndulo esférico é constituído de uma partícula
de massa
suspenso por um fio leve e inextensível de comprimento
, fixo em um ponto
. A partícula pode ser mover nas três dimensões espaciais (o pêndulo simples pode mover-se apenas em um plano vertical) através de um campo gravitacional uniforme.
a) Escreva a Lagrangiana e encontre os momento canônicos do sistema.
b) Escreva a Hamiltoniana do sistema e mostre que as equações de movimento são dadas por
a) Escreva a Lagrangiana e encontre os momento canônicos do sistema.
b) Escreva a Hamiltoniana do sistema e mostre que as equações de movimento são dadas por
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo esférico: uma partícula
de massa
presa a um fio leve e inextensível de comprimento
, livre para mover-se em três dimensões sob um campo gravitacional uniforme de intensidade
. Pede-se:
- (a) escrever a Lagrangiana do sistema e encontrar os momentos canônicos;
- (b) escrever a Hamiltoniana e mostrar que as equações de movimento (relacionando
e os momentos) têm a forma pedida.
Informações relevantes dadas:
- massa:
; - comprimento do fio (distância fixa ao pivô):
(constante); - aceleração gravitacional:
; - coordenadas generalizadas a usar: ângulo polar
e ângulo azimutal (dois graus de liberdade independentes); a partícula está restrita a .
O próximo passo é escolher coordenadas explícitas e obter(energia cinética), (energia potencial), montar e daí os momentos canônicos e a Hamiltoniana.
Passo 2
Escolha de coordenadas e expressão da posição e da velocidade.
- Adota-se as coordenadas esféricas usuais com raio fixo
. A posição da partícula em termos de (inclinação em relação ao eixo vertical) e (azimute) é, com origem no ponto fixo :
Aqui
é o ângulo entre o fio e o eixo positivo
(ângulo polar), e
é o ângulo no plano horizontal;
cresce para cima. Essas fórmulas são padrão e valem para comprimento
fixo.
Para calcular a energia cinética
precisamos de
. Calculando
e simplificando (é útil lembrar identidades trigonométricas e fatorar
), obtém-se a forma conhecida:
Explicação curta de como aparece: as contribuições de variação em
entram como
, e as de
como
; não há termo misto porque
é ortogonal a
.
Logo a energia cinética é
A energia potencial gravitacional, tomando referência conveniente (por exemplo zero no ponto onde
ou outro ponto qualquer), podemos escrever convenientemente como função de
. Uma escolha comum (zero em
daria constante a mais, que não altera as equações) é
Aqui
é a energia potencial usual com
; a constante adicionada
não altera as equações de movimento mas deixa
positiva quando
aumenta a partir de
.
Passo 3
Escrever a Lagrangiana e calcular os momentos canônicos.
- A Lagrangiana é
. Portanto
- Os momentos canônicos são definidos por
Calculando:
Interpretação:
é o momento conjugado à variação de inclinação
(proporcional à velocidade
), e
é o momento angular em torno do eixo vertical (proporcional a
multiplicado pelo raio efetivo
ao quadrado).
Passo 4
Expressar as velocidades em termos dos momentos e montar a Hamiltoniana.
- Inverter as relações para obter as velocidades:
- A Hamiltoniana é definida pela transformada de Legendre
Substituindo
e
e simplificando (organizar termos quadráticos em
e usar trigonometria), obtém-se
Comentário: os dois primeiros termos representam a energia cinética expressa em função dos momentos canônicos, e o último termo é a energia potencial. Esta é a Hamiltoniana canônica do pêndulo esférico.
Passo 5
Obter as equações de movimento via equações de Hamilton e simplificar até a forma pedida.
As equações de Hamilton são
As equações de Hamilton são
onde
e
.
- Para
:
Derivando mais uma vez no tempo,
- Para
:
Calcule. Primeiro compute para cada termo dependente de :
- O termo
depende de via . Sua derivada é
- O termo de potencial
tem derivada
Somando:
Portanto
- Substituindo em
:
Simplificando os fatores:
Observação trigonométrica para escrever na forma pedida:
. Assim a expressão pode ser reorganizada como
- Para
:
E
pois
não depende de
explicitamente. Logo
é constante no tempo (conservação do momento angular em torno do eixo vertical).
Passo 6
Recapitulando e fazendo a ligação com a forma solicitada:
- As equações obtidas são
Pequena observação sobre sinais/funcções trigonométricas: dependendo da convenção geométrica para o ângulo
(por exemplo se
for medido a partir da horizontal em vez de a partir do eixo vertical), as funções
e
nas expressões de potencial e nas equações podem trocar-se de acordo com a relação entre as convenções. A derivação acima usa a convenção padrão
= ângulo polar a partir do eixo vertical, resultando no termo
no segundo membro de
. Se o enunciado espera
, isso corresponde a uma outra escolha de referência/definição de
(ângulo complementar).