Questão 4 - Um pêndulo esférico é constituído de uma partícula P de massa m suspenso por um fio leve e inextensível de comprimento a, fixo em um ponto O. A partícula pode ser mover nas três dimensões espaciais (o pêndulo simples pode mover-se apenas em um plano vertical) através de um campo gravitacional uniforme.
a) Escreva a Lagrangiana e encontre os momento canônicos do sistema.
b) Escreva a Hamiltoniana do sistema e mostre que as equações de movimento são dadas por
\begin{gathered} \ddot{\theta}=\frac{p_{\varphi}^{2} \cot \theta}{m^{2} a^{4} \operatorname{sen}^{2} \theta}-\frac{g}{a} \cos \theta \\\ \varphi=\frac{p_{\varphi}}{m a^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta} \\\ p_{\varphi}=\text { constante } \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo esférico: uma partícula P de massa m presa a um fio leve e inextensível de comprimento a, livre para mover-se em três dimensões sob um campo gravitacional uniforme de intensidade g. Pede-se:
  • (a) escrever a Lagrangiana do sistema e encontrar os momentos canônicos;
  • (b) escrever a Hamiltoniana e mostrar que as equações de movimento (relacionando \theta,\varphi e os momentos) têm a forma pedida.
Informações relevantes dadas:
  • massa: m;
  • comprimento do fio (distância fixa ao pivô): a (constante);
  • aceleração gravitacional: g;
  • coordenadas generalizadas a usar: ângulo polar \theta e ângulo azimutal \varphi (dois graus de liberdade independentes); a partícula está restrita a \lVert\mathbf r\rVert = a.
    O próximo passo é escolher coordenadas explícitas e obter T (energia cinética), V (energia potencial), montar L=T-V e daí os momentos canônicos e a Hamiltoniana.

Passo 2

Escolha de coordenadas e expressão da posição e da velocidade.
  • Adota-se as coordenadas esféricas usuais com raio fixo r=a. A posição da partícula em termos de \theta (inclinação em relação ao eixo vertical) e \varphi (azimute) é, com origem no ponto fixo O:
x = a\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = a\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = a\cos\theta.
Aqui \theta é o ângulo entre o fio e o eixo positivo z (ângulo polar), e \varphi é o ângulo no plano horizontal; z cresce para cima. Essas fórmulas são padrão e valem para comprimento a fixo.
Para calcular a energia cinética T precisamos de \dot{\mathbf r}. Calculando \dot x,\dot y,\dot z e simplificando (é útil lembrar identidades trigonométricas e fatorar a), obtém-se a forma conhecida:
\dot{\mathbf r}^{2} = a^{2}\bigl(\dot\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\bigr).
Explicação curta de como aparece: as contribuições de variação em \theta entram como a^{2}\dot\theta^{2}, e as de \varphi como a^{2}\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}; não há termo misto porque \partial\mathbf r/\partial\theta é ortogonal a \partial\mathbf r/\partial\varphi.
Logo a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf r}^{2}=\frac{1}{2}m a^{2}\bigl(\dot\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\bigr).
A energia potencial gravitacional, tomando referência conveniente (por exemplo zero no ponto onde \theta=\pi/2 ou outro ponto qualquer), podemos escrever convenientemente como função de \theta. Uma escolha comum (zero em \theta=0 daria constante a mais, que não altera as equações) é
V=m g a(1-\cos\theta).
Aqui m g a\cos\theta é a energia potencial usual com z=a\cos\theta; a constante adicionada m g a não altera as equações de movimento mas deixa V positiva quando \theta aumenta a partir de 0.

Passo 3

Escrever a Lagrangiana e calcular os momentos canônicos.
  • A Lagrangiana é L=T-V. Portanto
L=\frac{1}{2}m a^{2}\bigl(\dot\theta^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot\varphi^{2}\bigr)-m g a(1-\cos\theta).
  • Os momentos canônicos são definidos por
p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot\theta},\qquad p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot\varphi}.
Calculando:
p_{\theta}=m a^{2}\dot\theta,
p_{\varphi}=m a^{2}\sin^{2}\theta\,\dot\varphi.
Interpretação: p_{\theta} é o momento conjugado à variação de inclinação \theta (proporcional à velocidade \dot\theta), e p_{\varphi} é o momento angular em torno do eixo vertical (proporcional a \dot\varphi multiplicado pelo raio efetivo a\sin\theta ao quadrado).

Passo 4

Expressar as velocidades em termos dos momentos e montar a Hamiltoniana.
  • Inverter as relações para obter as velocidades:
\dot\theta=\frac{p_{\theta}}{m a^{2}},\qquad \dot\varphi=\frac{p_{\varphi}}{m a^{2}\sin^{2}\theta}.
  • A Hamiltoniana é definida pela transformada de Legendre
H=p_{\theta}\dot\theta+p_{\varphi}\dot\varphi-L.
Substituindo \dot\theta,\dot\varphi e L e simplificando (organizar termos quadráticos em p e usar trigonometria), obtém-se
H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2m a^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m a^{2}\sin^{2}\theta}+m g a(1-\cos\theta).
Comentário: os dois primeiros termos representam a energia cinética expressa em função dos momentos canônicos, e o último termo é a energia potencial. Esta é a Hamiltoniana canônica do pêndulo esférico.

Passo 5

Obter as equações de movimento via equações de Hamilton e simplificar até a forma pedida.
As equações de Hamilton são
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},
onde q_1=\theta,\;q_2=\varphi e p_1=p_{\theta},\;p_2=p_{\varphi}.
  1. Para \theta:
\dot\theta=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta}}=\frac{p_{\theta}}{m a^{2}}.
Derivando mais uma vez no tempo,
\ddot\theta=\frac{\dot p_{\theta}}{m a^{2}}.
  1. Para p_{\theta}:
    Calcule -\partial H/\partial\theta. Primeiro compute \partial H/\partial\theta para cada termo dependente de \theta:
  • O termo \dfrac{p_{\varphi}^{2}}{2 m a^{2}\sin^{2}\theta} depende de \theta via \sin^{-2}\theta. Sua derivada é
\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m a^{2}\sin^{2}\theta}\right) = \frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m a^{2}}\cdot(-2)\sin^{-3}\theta\cos\theta = -\frac{p_{\varphi}^{2}\cos\theta}{m a^{2}\sin^{3}\theta}.
  • O termo de potencial m g a(1-\cos\theta) tem derivada
\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(m g a(1-\cos\theta)\bigr)=m g a\sin\theta.
Somando:
\frac{\partial H}{\partial\theta}=-\frac{p_{\varphi}^{2}\cos\theta}{m a^{2}\sin^{3}\theta}+m g a\sin\theta.
Portanto
\dot p_{\theta}=-\frac{\partial H}{\partial\theta}=\frac{p_{\varphi}^{2}\cos\theta}{m a^{2}\sin^{3}\theta}-m g a\sin\theta.
  1. Substituindo em \ddot\theta=\dot p_{\theta}/(m a^{2}):
\ddot\theta=\frac{1}{m a^{2}}\left(\frac{p_{\varphi}^{2}\cos\theta}{m a^{2}\sin^{3}\theta}-m g a\sin\theta\right).
Simplificando os fatores:
\ddot\theta=\frac{p_{\varphi}^{2}\cos\theta}{m^{2} a^{4}\sin^{3}\theta}-\frac{g}{a}\sin\theta.
Observação trigonométrica para escrever na forma pedida: \dfrac{\cos\theta}{\sin^{3}\theta}=\dfrac{\cot\theta}{\sin^{2}\theta}. Assim a expressão pode ser reorganizada como
\ddot\theta=\frac{p_{\varphi}^{2}\cot\theta}{m^{2} a^{4}\sin^{2}\theta}-\frac{g}{a}\sin\theta.
  1. Para \varphi:
\dot\varphi=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{m a^{2}\sin^{2}\theta}.
E
\dot p_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0,
pois H não depende de \varphi explicitamente. Logo p_{\varphi} é constante no tempo (conservação do momento angular em torno do eixo vertical).

Passo 6

Recapitulando e fazendo a ligação com a forma solicitada:
  • As equações obtidas são
\ddot\theta=\frac{p_{\varphi}^{2}\cot\theta}{m^{2} a^{4}\sin^{2}\theta}-\frac{g}{a}\sin\theta,
\dot\varphi=\frac{p_{\varphi}}{m a^{2}\sin^{2}\theta},
p_{\varphi}=\text{constante}.
Pequena observação sobre sinais/funcções trigonométricas: dependendo da convenção geométrica para o ângulo \theta (por exemplo se \theta for medido a partir da horizontal em vez de a partir do eixo vertical), as funções \sin\theta e \cos\theta nas expressões de potencial e nas equações podem trocar-se de acordo com a relação entre as convenções. A derivação acima usa a convenção padrão \theta = ângulo polar a partir do eixo vertical, resultando no termo -\dfrac{g}{a}\sin\theta no segundo membro de \ddot\theta. Se o enunciado espera -\dfrac{g}{a}\cos\theta, isso corresponde a uma outra escolha de referência/definição de \theta (ângulo complementar).

Resposta

\ddot\theta=\frac{p_{\varphi}^{2}\cot\theta}{m^{2} a^{4}\sin^{2}\theta}-\frac{g}{a}\sin\theta
\dot\varphi=\frac{p_{\varphi}}{m a^{2}\sin^{2}\theta}
p_{\varphi}=\text{constante}

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