Três cargas são associadas em paralelo com uma fonte de 120 V RMS. A carga 1 absorve 60 kVAR com FP =0,85 indutivo, a carga 2 absorve 90 kW e 50 kVAR indutivo e a carga 3 absorve 100 kW com \mathrm{FP}=1. Determine a impedância equivalente, calcule o fator de potência da associação em paralelo e determine a corrente fornecida pela fonte.

Resposta:

a) Z=[50.147+j 1.7512] \mathrm{m} \Omega
b) \mathrm{FP}=0.99994
c) I =[2390.03-j 83.46] \mathrm{A} RMS

Passo 1

O enunciado dá uma associação em paralelo alimentada por uma fonte de tensão de \,120\\ \mathrm{V} (RMS) e três cargas com as seguintes informações:
  • Carga 1: absorve \,60\\ \mathrm{kVAR} (indutivo) e tem fator de potência \mathrm{FP}=0,85 (atraso).
  • Carga 2: absorve \,90\\ \mathrm{kW} e \,50\\ \mathrm{kVAR} (indutivo).
  • Carga 3: absorve \,100\\ \mathrm{kW} com \mathrm{FP}=1 (ou seja, Q=0).
O que o problema pede:
  1. Determinar a impedância equivalente da associação (em ohms ou em m \Omega).
  2. Calcular o fator de potência da associação (global).
  3. Determinar a corrente fornecida pela fonte (valor complexo RMS).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tensão RMS fornecida: \,V=120\\ \mathrm{V}.
  • Para cada carga podemos representar a potência complexa por \,S = P + jQ.
  • Carga 1: foi dada Q_1 = 60\\ \mathrm{kVAR} e \mathrm{FP}_1=\cos\varphi_1=0,85 (indutivo).
  • Carga 2: P_2=90\\ \mathrm{kW},\\ Q_2=50\\ \mathrm{kVAR} (indutivo).
  • Carga 3: P_3=100\\ \mathrm{kW},\\ Q_3=0.

Passo 2

Primeiro precisamos transformar a informação da carga 1 (dada Q_1 e \mathrm{FP}_1) em P_1 (potência ativa) e em sua potência aparente |S_1|.
Lembrete / aula curta:
  • Para uma carga qualquer, \,S = P + jQ (VA), onde P é a potência ativa (W) e Q a reativa (VAR).
  • O fator de potência \mathrm{FP}=\cos\varphi. Temos \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}.
  • A potência reativa e a aparente estão relacionadas por \,Q = |S|\sin\varphi. Assim |S| = Q/\sin\varphi.
  • Depois P = |S|\cos\varphi.
Aplicando isso à carga 1:
  • \displaystyle \cos\varphi_1=0,85 \Rightarrow \sin\varphi_1=\sqrt{1-0,85^2}=\sqrt{0,2775}.
  • Calculemos \sin\varphi_1: \sin\varphi_1 \approx 0,526782687.
  • Então |S_1| = \dfrac{Q_1}{\sin\varphi_1}=\dfrac{60\,000}{0,526782687}\\ \mathrm{VA}.
  • Numericamente: |S_1|\approx 113\,953{,}5\\ \mathrm{VA}.
  • Potência ativa P_1: P_1 = |S_1|\cos\varphi_1 \approx 113\,953{,}5\times 0{,}85 \approx 96\,860{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Potência reativa Q_1 já dada: Q_1=60\,000\\ \mathrm{VAR} (positiva para indutiva).
Portanto a carga 1 tem
S_1\approx 96\,860{,}5 + j\,60\,000\\ \mathrm{VA}.

Passo 3

Agora escrevemos as potências complexas das outras cargas (já diretas do enunciado):
  • Carga 2: S_2 = P_2 + jQ_2 = 90\,000 + j\,50\,000\\ \mathrm{VA}.
  • Carga 3: S_3 = P_3 + jQ_3 = 100\,000 + j\,0\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Somamos as potências complexas para obter a potência complexa total absorvida pela associação (soma em paralelo):
  • Potência ativa total: P_\text{tot} = P_1 + P_2 + P_3 \approx 96\,860{,}5 + 90\,000 + 100\,000 = 286\,860{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Potência reativa total: Q_\text{tot} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 60\,000 + 50\,000 + 0 = 110\,000\\ \mathrm{VAR}.
  • Potência complexa total: S_\text{tot} = P_\text{tot} + jQ_\text{tot} \approx 286\,860{,}5 + j\,110\,000\\ \mathrm{VA}.

Passo 5

Achar a impedância equivalente vista pela fonte.
Teoria rápida:
  • Para um conjunto de cargas conectadas em paralelo a uma tensão fixa \,V (fase de referência real), a corrente total complexa é dada por S_\text{tot} = V\,I_\text{tot}^* \quad\Rightarrow\quad I_\text{tot} = \frac{S_\text{tot}^*}{V}.
  • A impedância equivalente (da fonte vista para as cargas) é \displaystyle Z_\text{eq}=\frac{V}{I_\text{tot}}.
  • Substituindo I_\text{tot}=\dfrac{S_\text{tot}^*}{V} obtemos a forma conveniente Z_\text{eq}=\frac{V^2}{S_\text{tot}^*}.
  • É comum calcular Z_\text{eq} usando a conjugada: escrevendo S_\text{tot}^*=P_\text{tot}-jQ_\text{tot} e multiplicando numerador/denominador pelo conjugado.
Cálculo numérico:
  • Primeiro escrevemos S_\text{tot}^*=286\,860{,}5 - j\,110\,000.
  • V^2 = 120^2 = 14\,400.
  • Então Z_\text{eq}=\frac{14\,400}{286\,860{,}5 - j\,110\,000}.
  • Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador: Z_\text{eq} = 14\,400\cdot\frac{286\,860{,}5 + j\,110\,000}{286\,860{,}5^2 + 110\,000^2}.
  • Calculamos o denominador: 286\,860{,}5^2 + 110\,000^2 \approx 94\,389\,\!{\small something}\times 10^9.(fazendo a conta numérica:) 286\,860{,}5^2 \approx 82\,287\,\!7\times 10^6\quad\text{e}\quad 110\,000^2=12\,100\,000\,000,
\Rightarrow 286\,860{,}5^2 + 110\,000^2 \approx 94\,387\,512\,164.
  • Agora os termos do numerador: 14\,400\cdot 286\,860{,}5 \approx 4\,130\,759\,\!? \times 10^6 \quad\text{e}\quad 14\,400\cdot 110\,000 = 1\,584\,000\,000.
  • Finalmente: Z_\text{eq}\approx \frac{4\,130\,755\,200 + j\,1\,584\,000\,000}{94\,387\,512\,164}.
  • Dividindo cada parte: \Re(Z_\text{eq}) \approx 0{,}043773\\ \Omega = 43{,}773\\ \mathrm{m}\Omega,
\Im(Z_\text{eq}) \approx 0{,}016786\\ \Omega = 16{,}786\\ \mathrm{m}\Omega.
Portanto
Z_\text{eq}\approx 0{,}043773 + j\,0{,}016786\\ \Omega \quad\text{(ou)}\quad [43{,}773 + j\,16{,}786]\\ \mathrm{m}\Omega.

Passo 6

Calcular o fator de potência da associação.
Teoria rápida:
  • O fator de potência global é \displaystyle \mathrm{FP}_\text{tot}=\cos\varphi_\text{tot}=\frac{P_\text{tot}}{|S_\text{tot}|}, onde |S_\text{tot}|=\sqrt{P_\text{tot}^2+Q_\text{tot}^2}.
Cálculo numérico:
  • Valor de |S_\text{tot}|: |S_\text{tot}|=\sqrt{(286\,860{,}5)^2 + (110\,000)^2}\approx 307\,276{,}6\\ \mathrm{VA}.
  • Logo \mathrm{FP}_\text{tot}=\frac{286\,860{,}5}{307\,276{,}6}\approx 0{,}9343.
  • Como Q_\text{tot}>0 (indutivo), o fator de potência é de atraso (lag).

Passo 7

Determinar a corrente fornecida pela fonte (complexa RMS).
Duas formas (iguais): usar I_\text{tot}=\dfrac{S_\text{tot}^*}{V} ou I_\text{tot}=V/Z_\text{eq}. Vou usar I_\text{tot}=\dfrac{S_\text{tot}^*}{V}.
  • Escrevendo S_\text{tot}^* = 286\,860{,}5 - j\,110\,000, I_\text{tot} = \frac{286\,860{,}5 - j\,110\,000}{120}.
  • Dividindo parte real e imaginária: I_\text{tot}\approx 2\,390{,}504 - j\,916{,}6667\\ \mathrm{A}.
  • (Consistência: se calcular por I=V/Z_\text{eq} obtém-se o mesmo resultado.)
Interpretação: a corrente total RMS é cerca de 2{,}390{,}5\\ \mathrm{A} com componente reativa -916{,}67\\ \mathrm{A} (o sinal negativo aqui indica que, na convenção da referência, a componente imaginária da corrente está atrasando a tensão — consistente com carga indutiva).

Resposta

a) Z=[43{,}773+j\,16{,}786]\\ \mathrm{m}\Omega
b) \mathrm{FP}=0{,}9343 (atraso)
c) I=[2390{,}50 - j\,916{,}67]\\ \mathrm{A} RMS

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