Uma arvore oca de diâmetro exterior igual a 50 mm e de diâmetro interior igual a 40 mm tem um comprimento de
.
a) Sabendo que a tensão tangencial é
, calcular o momento que pode ser transmitido por esta arvore?
b) De qual ângulo giram as seções extremas, uma em relação a outra? (Considerar
)
a) Sabendo que a tensão tangencial é
b) De qual ângulo giram as seções extremas, uma em relação a outra? (Considerar
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (já converti unidades quando necessário).
Dados fornecidos:
- Diâmetro exterior da árvore:
. - Diâmetro interior da árvore (furo):
. - Comprimento da árvore:
. - Tensão tangencial admissível:
. - Módulo de cisalhamento:
.
O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular o momento torsor que a árvore pode transmitir sabendo que a tensão tangencial máxima é
.
b) Calcular o ângulo de torção (a rotação relativa) entre as seções extremas da árvore, ou seja, o ângulo entre as duas extremidades após aplicação do torque .
a) Calcular o momento torsor
b) Calcular o ângulo de torção (a rotação relativa) entre as seções extremas da árvore, ou seja, o ângulo entre as duas extremidades após aplicação do torque
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Em torção de uma seção circular oca, a tensão tangencial máxima na borda externa é dada por
onde:
-
é a tensão tangencial máxima (unidade ), -
é o momento torsor (unidade ), -
é o raio externo da seção (em ), e -
é o momento polar de inércia da seção em relação ao eixo (unidade ). -
Para uma seção circular oca (diâmetros
e ), o momento polar é
Aqui
e
devem estar em
e
vem em
.
- O ângulo de torção entre as extremidades de um eixo uniforme submetido a torque constante
é
onde
está em radianos quando as demais grandezas estão nas unidades indicadas.
Observação útil (que vai simplificar cálculos): substituindo
da primeira fórmula na segunda, nota-se que
se cancela e obtemos
Isto significa que a rotação depende diretamente da tensão tangencial admissível, do comprimento, do módulo de cisalhamento e do raio externo, e não depende do momento polar explicitamente — desde que a tensão máxima seja fixada.
Passo 3
Calcular o momento polar
da seção (mostro o cálculo para aprendizado, mesmo que depois
cancele para
).
Primeiro os raios:
Calcular
e
:
Diferença:
Agora
:
Para fins numéricos, podemos calcular
(arredondei o resultado a três algarismos significativos que fazem sentido para este tipo de problema).
Passo 4
Calcular o momento torsor
usando
. Isolando
:
Substituindo os valores (
,
,
):
Calcule passo a passo:
Arredondando de forma adequada, fica
Convertendo para
(dividir por
):
(Dica prática para prova: uma forma direta de obter
sem calcular
numericamente é usar a forma com diâmetros:
que dá exatamente o mesmo número.)
Passo 5
Calcular o ângulo de torção
. Como mostrado em Passo 2, a fórmula simplificada é
Essa simplificação é útil porque evita recalcular
e
para obter
.
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Interpretar e converter
para graus (muito útil na prova para ter uma ideia intuitiva do giro).
Converter radianos para graus usando
graus:
Comentário encorajador: o ângulo é pequeno (cerca de
), o que é comum em eixos relativamente curtos e rígidos.
Passo 7
Resumo numérico final (já com arredondamentos apropriados para engenharia):
- Momento transmissível
(ou ). - Ângulo de torção entre extremidades
.