Uma arvore oca de diâmetro exterior igual a 50 mm e de diâmetro interior igual a 40 mm tem um comprimento de 1,50 \mathrm{~m}.
a) Sabendo que a tensão tangencial é 30 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}, calcular o momento que pode ser transmitido por esta arvore?
b) De qual ângulo giram as seções extremas, uma em relação a outra? (Considerar \mathrm{G}=80000 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (já converti unidades quando necessário).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro exterior da árvore: D=50\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interior da árvore (furo): d=40\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento da árvore: L=1,50\\ \mathrm{m}=1500\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão tangencial admissível: \tau_{\max}=30\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
  • Módulo de cisalhamento: G=80000\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular o momento torsor T que a árvore pode transmitir sabendo que a tensão tangencial máxima é \tau_{\max}.
b) Calcular o ângulo de torção (a rotação relativa) entre as seções extremas da árvore, ou seja, o ângulo entre as duas extremidades após aplicação do torque T.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Em torção de uma seção circular oca, a tensão tangencial máxima na borda externa é dada por
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão tangencial máxima (unidade \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}),
  • T é o momento torsor (unidade \mathrm{N\cdot mm}),
  • c é o raio externo da seção (em \mathrm{mm}), e
  • J é o momento polar de inércia da seção em relação ao eixo (unidade \mathrm{mm}^{4}).
  • Para uma seção circular oca (diâmetros D e d), o momento polar é
J=\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^{4}-d^{4}\bigr).
Aqui D e d devem estar em \mathrm{mm} e J vem em \mathrm{mm}^{4}.
  • O ângulo de torção entre as extremidades de um eixo uniforme submetido a torque constante T é
\varphi=\dfrac{T\,L}{G\,J},
onde \varphi está em radianos quando as demais grandezas estão nas unidades indicadas.
Observação útil (que vai simplificar cálculos): substituindo T da primeira fórmula na segunda, nota-se que J se cancela e obtemos
\varphi=\dfrac{\tau_{\max}\,L}{G\,c}.
Isto significa que a rotação depende diretamente da tensão tangencial admissível, do comprimento, do módulo de cisalhamento e do raio externo, e não depende do momento polar explicitamente — desde que a tensão máxima seja fixada.

Passo 3

Calcular o momento polar J da seção (mostro o cálculo para aprendizado, mesmo que depois J cancele para \varphi).
Primeiro os raios:
c=\dfrac{D}{2}=\dfrac{50}{2}=25\\ \mathrm{mm}.
Calcular D^{4} e d^{4}:
D^{4}=50^{4}=6\,250\,000\\ \mathrm{mm}^{4}, \qquad d^{4}=40^{4}=2\,560\,000\\ \mathrm{mm}^{4}.
Diferença:
D^{4}-d^{4}=6\,250\,000-2\,560\,000=3\,690\,000\\ \mathrm{mm}^{4}.
Agora J:
J=\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^{4}-d^{4}\bigr) =\dfrac{\pi}{32}\cdot 3\,690\,000.
Para fins numéricos, podemos calcular
J\approx 115\,312{,}5\cdot\pi \approx 362\,238\\ \mathrm{mm}^{4}
(arredondei o resultado a três algarismos significativos que fazem sentido para este tipo de problema).

Passo 4

Calcular o momento torsor T usando \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}. Isolando T:
T=\dfrac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Substituindo os valores ( \tau_{\max}=30\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}, J\approx 362\,238\\ \mathrm{mm}^{4}, c=25\\ \mathrm{mm}):
T\approx \dfrac{30\cdot 362\,238}{25}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Calcule passo a passo:
\frac{30}{25}=1{,}2, \qquad 1{,}2\cdot 362\,238 \approx 434\,686\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Arredondando de forma adequada, fica
T\approx 4{,}347\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Convertendo para \mathrm{N\cdot m} (dividir por 1000):
T\approx 434{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Dica prática para prova: uma forma direta de obter T sem calcular J numericamente é usar a forma com diâmetros:
T=\tau_{\max}\,\dfrac{\pi}{16}\,\dfrac{D^{4}-d^{4}}{D},
que dá exatamente o mesmo número.)

Passo 5

Calcular o ângulo de torção \varphi. Como mostrado em Passo 2, a fórmula simplificada é
\varphi=\dfrac{\tau_{\max}\,L}{G\,c}.
Essa simplificação é útil porque evita recalcular J e T para obter \varphi.
Substituindo os valores:
\varphi=\dfrac{30\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}\cdot 1500\\ \mathrm{mm}}{80\,000\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}\cdot 25\\ \mathrm{mm}}.
Calcule passo a passo:
\varphi=\dfrac{30\cdot 1500}{80\,000\cdot 25}=\dfrac{45\,000}{2\,000\,000}=0{,}0225\\ \text{rad}.

Passo 6

Interpretar e converter \varphi para graus (muito útil na prova para ter uma ideia intuitiva do giro).
Converter radianos para graus usando 1\\ \text{rad}=180/\pi graus:
\varphi_{\text{(graus)}}=\varphi\cdot\dfrac{180}{\pi}=0{,}0225\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx 1{,}29^\circ.
Comentário encorajador: o ângulo é pequeno (cerca de 1{,}3^\circ), o que é comum em eixos relativamente curtos e rígidos.

Passo 7

Resumo numérico final (já com arredondamentos apropriados para engenharia):
  • Momento transmissível T\approx 4{,}347\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot mm} (ou 434{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}).
  • Ângulo de torção entre extremidades \varphi\approx 0{,}0225\\ \text{rad}\approx 1{,}29^\circ.

Resposta

T\approx 4{,}347\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot mm}=434{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}
\varphi\approx 0{,}0225\\ \text{rad}\approx 1{,}29^\circ

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