Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento
. O tipo de construção exige uma grande rigidez. O ângulo de torção unitário é limitado a 0,25 grau
. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a 75 MPa e Um módulo transversal igual a 8104 MPa .
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?
b) Determinar a tensão tangencial máxima para
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?
b) Determinar a tensão tangencial máxima para
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?
Passo 1
Vou listar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Momento torque aplicado:
. - Limite do ângulo de torção por unidade de comprimento:
. - Tensão de cisalhamento no escoamento do material:
. - Módulo de cisalhamento (módulo transversal):
.
Perguntas:
(a) Determinar o diâmetro mínimo da árvore (cilíndrica) que satisfaça o limite de rigidez (ou seja, ângulo de torção por metro não exceda ).
(b) Para , calcular a tensão tangencial máxima
.
(c) Calcular o coeficiente de segurança da árvore (ou seja, razão entre a tensão de escoamento em cisalhamento e a tensão tangencial máxima calculada em (b)).
(a) Determinar o diâmetro mínimo da árvore (cilíndrica) que satisfaça o limite de rigidez (ou seja, ângulo de torção por metro não exceda
(b) Para
(c) Calcular o coeficiente de segurança da árvore (ou seja, razão entre a tensão de escoamento em cisalhamento e a tensão tangencial máxima calculada em (b)).
Passo 2
Relembrando as fórmulas fundamentais para uma árvore circular maciça submetida a torque:
- A tensão de cisalhamento máxima (na superfície, raio externo
) é dada por
onde
é o momento polar de inércia da seção circular. Para seção circular maciça
Substituindo
em
e simplificando, obtém-se a forma prática muito usada:
Expliquei:
é o torque (ou momento torsor),
o diâmetro,
mede a “resistência geométrica” à torção.
- O ângulo de torção por comprimento (para comprimento
) em radianos é
Portanto o ângulo por unidade de comprimento (por metro) é
Explicando:
é o módulo de cisalhamento (unidades de pressão),
em
, então
tem unidades rad/m.
Passo 3
Usar a restrição de rigidez (ângulo de torção por metro) para obter o diâmetro mínimo.
Primeiro converto o limite dado em graus para radianos (porque a fórmula usa radianos):
A condição de projeto é
Substituindo
e isolando
:
Isolando
:
É mais direto computar a partir de
com
, que dá
Agora substituo os valores (tudo em SI:
). Observação:
.
Faço as contas passo a passo:
- Numerador:
. - Denominador aproximado:
. - Razão:
.
Tiro a raiz quarta:
Interpretação: o diâmetro mínimo para atender o critério de rigidez (ângulo de torção por metro) é aproximadamente
.
Passo 4
Calcular a tensão tangencial máxima para
.
Usando a fórmula
com
e
:
Portanto
para
.
Passo 5
Calcular o coeficiente de segurança (face à escoamento em cisalhamento) para
.
O coeficiente de segurança por escoamento em cisalhamento é
Substituindo
e
:
Comentário didático rápido e motivador: isso quer dizer que, em termos de resistência ao escoamento em cisalhamento, a árvore de
está muito segura (fator
). Mas atenção importante: apesar do grande fator de segurança mecânica, a árvore de
NÃO satisfaz a exigência de rigidez — a torção por metro seria muito maior que
. De fato, calculando a torção por metro para
tem-se aproximadamente
, ou seja, muito acima do limite; por isso o diâmetro mínimo imposto pela rigidez (parte a) é o que realmente controla o projeto.
Resposta
(a)
(b)
(c)