Uma arvore de transmissão cilíndrica de diâmetro d transmite um momento \mathrm{M}=100 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. O tipo de construção exige uma grande rigidez. O ângulo de torção unitário é limitado a 0,25 grau / \mathrm{m}. O material da arvore tem tensão de cisalhamento no escoamento igual a 75 MPa e Um módulo transversal igual a 8104 MPa .
a) Determinar o diâmetro mínimo da arvore?
b) Determinar a tensão tangencial máxima para \mathrm{d}=41 \mathrm{~mm}
c) Qual o valor do coeficiente de segurança da arvore?

Passo 1

Vou listar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Momento torque aplicado: \mathrm{M}=100\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Limite do ângulo de torção por unidade de comprimento: 0,25^\circ/\mathrm{m}.
  • Tensão de cisalhamento no escoamento do material: \tau_{\mathrm{esco}}=75\\ \mathrm{MPa}.
  • Módulo de cisalhamento (módulo transversal): G=8104\\ \mathrm{MPa}.
Perguntas:
(a) Determinar o diâmetro mínimo da árvore (cilíndrica) que satisfaça o limite de rigidez (ou seja, ângulo de torção por metro não exceda 0,25^\circ/\mathrm{m}).
(b) Para d=41\\ \mathrm{mm}, calcular a tensão tangencial máxima \tau_{\max}.
(c) Calcular o coeficiente de segurança da árvore (ou seja, razão entre a tensão de escoamento em cisalhamento e a tensão tangencial máxima calculada em (b)).

Passo 2

Relembrando as fórmulas fundamentais para uma árvore circular maciça submetida a torque:
  • A tensão de cisalhamento máxima (na superfície, raio externo c=d/2) é dada por
\tau_{\max}=\frac{M\,c}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção circular. Para seção circular maciça
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{M c}{J} e simplificando, obtém-se a forma prática muito usada:
\tau_{\max}=\frac{16\,M}{\pi d^{3}}.
Expliquei: M é o torque (ou momento torsor), d o diâmetro, J mede a “resistência geométrica” à torção.
  • O ângulo de torção por comprimento (para comprimento L) em radianos é
\theta = \frac{M L}{G J}.
Portanto o ângulo por unidade de comprimento (por metro) é
\frac{\theta}{L}=\frac{M}{G J}.
Explicando: G é o módulo de cisalhamento (unidades de pressão), J em \mathrm{m}^4, então M/(GJ) tem unidades rad/m.

Passo 3

Usar a restrição de rigidez (ângulo de torção por metro) para obter o diâmetro mínimo.
Primeiro converto o limite dado em graus para radianos (porque a fórmula usa radianos):
0,25^\circ = 0,25\cdot\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}=\frac{\pi}{720}\\ \mathrm{rad}\approx 0,004363323\\ \mathrm{rad}.
A condição de projeto é
\frac{M}{G J}\le \frac{\pi}{720}.
Substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} e isolando d:
\frac{M}{G\left(\dfrac{\pi d^{4}}{32}\right)}\le \frac{\pi}{720} \quad\Rightarrow\quad \frac{32 M}{\pi G d^{4}}\le \frac{\pi}{720}.
Isolando d^{4}:
d^{4}\ge \frac{32 M\cdot 720}{\pi^{2} G}.
É mais direto computar a partir de \dfrac{M}{GJ}=\dfrac{M}{G(\pi d^{4}/32)}\le \phi_{\lim} com \phi_{\lim}=\dfrac{\pi}{720}, que dá
d^{4}\ge \frac{32 M}{\pi G \phi_{\lim}}.
Agora substituo os valores (tudo em SI: \mathrm{N},\\ \mathrm{m},\\ \mathrm{Pa}). Observação: G=8104\\ \mathrm{MPa}=8104\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=8{,}104\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
\phi_{\lim}=\frac{\pi}{720}\\ \mathrm{rad/m}\approx 0{,}004363323\\ \mathrm{rad/m}.
d^{4}\ge \frac{32\cdot(100\\ \mathrm{N\cdot m})}{\pi\cdot(8{,}104\times10^{9}\\ \mathrm{Pa})\cdot 0{,}004363323}.
Faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 32\cdot100=3200.
  • Denominador aproximado: \pi\cdot 8{,}104\times10^{9}\cdot 0{,}004363323 \approx 1{,}1105\times10^{8}.
  • Razão: d^{4}\ge \dfrac{3200}{1{,}1105\times10^{8}}\approx 2{,}8809\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
Tiro a raiz quarta:
d\ge (2{,}8809\times10^{-5})^{1/4}\approx 0{,}0733\\ \mathrm{m}=73{,}3\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro mínimo para atender o critério de rigidez (ângulo de torção por metro) é aproximadamente 73{,}3\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular a tensão tangencial máxima para d=41\\ \mathrm{mm}.
Usando a fórmula
\tau_{\max}=\frac{16\,M}{\pi d^{3}},
com M=100\\ \mathrm{N\cdot m} e d=41\\ \mathrm{mm}=0{,}041\\ \mathrm{m}:
d^{3}=(0{,}041)^{3}=6{,}8921\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
\pi d^{3}\approx 3{,}141593\cdot 6{,}8921\times10^{-5}\approx 2{,}165\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
\tau_{\max}=\frac{16\cdot100}{2{,}165\times10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}\approx 7{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=7{,}39\\ \mathrm{MPa}.
Portanto \tau_{\max}\approx 7{,}39\\ \mathrm{MPa} para d=41\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular o coeficiente de segurança (face à escoamento em cisalhamento) para d=41\\ \mathrm{mm}.
O coeficiente de segurança por escoamento em cisalhamento é
n=\frac{\tau_{\mathrm{esco}}}{\tau_{\max}}.
Substituindo \tau_{\mathrm{esco}}=75\\ \mathrm{MPa} e \tau_{\max}=7{,}39\\ \mathrm{MPa}:
n=\frac{75}{7{,}39}\approx 10{,}1.
Comentário didático rápido e motivador: isso quer dizer que, em termos de resistência ao escoamento em cisalhamento, a árvore de 41\\ \mathrm{mm} está muito segura (fator \approx 10). Mas atenção importante: apesar do grande fator de segurança mecânica, a árvore de 41\\ \mathrm{mm} NÃO satisfaz a exigência de rigidez — a torção por metro seria muito maior que 0,25^\circ/\mathrm{m}. De fato, calculando a torção por metro para d=41\\ \mathrm{mm} tem-se aproximadamente 2{,}55^\circ/\mathrm{m}, ou seja, muito acima do limite; por isso o diâmetro mínimo imposto pela rigidez (parte a) é o que realmente controla o projeto.

Resposta

(a) d_{\min}\approx 73{,}3\\ \mathrm{mm}
(b) \tau_{\max}(d=41\\ \mathrm{mm})\approx 7{,}39\\ \mathrm{MPa}
(c) n=\dfrac{\tau_{\mathrm{esco}}}{\tau_{\max}}\approx 10{,}1

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