Três forças atuam sobre o suporte. Determine a intensidade e a direção \theta de \mathbf{F} de modo que a força resultante esteja direcionada ao longo do eixo x^{\prime} positivo e tenha uma intensidade de 8 kN .

Passo 1

O enunciado mostra três forças concorrentes no ponto central:
\mathbf{F}_1 de 4,kN, dirigida a 15^\circ à esquerda da vertical;
\mathbf{F}_2 de 6,kN, ao longo do eixo x positivo;
\mathbf{F} desconhecida, de intensidade F e que faz ângulo \theta à direita da vertical.
Queremos que a resultante \mathbf{R}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F} tenha intensidade 8,kN e direção coincidente com o eixo x', que está girado 30^\circ acima de x.

Passo 2

Escolhemos o eixo x para a direita e o eixo y para cima.
\mathbf{F}_1: magnitude 4,kN e ângulo em relação a x de 90^\circ+15^\circ=105^\circ.
\mathbf{F}_2: magnitude 6,kN em 0^\circ.
\mathbf{F}: magnitude F e, sendo \theta o desvio a partir da vertical para a direita, o ângulo em relação ao x é 90^\circ-\theta.
– A resultante desejada é R=8,kN com direção 30^\circ a partir do x.

Passo 3

Escrevemos as componentes em x\) e \(y\) da soma vetorial e igualamos às componentes de \(R\): \[\begin{cases} 4\cos(105^\circ) \;+\;6\cos(0^\circ)\;+\;F\cos\bigl(90^\circ-\theta\bigr) = 8\cos(30^\circ),\\[6pt] 4\sin(105^\circ) \;+\;6\sin(0^\circ)\;+\;F\sin\bigl(90^\circ-\theta\bigr) = 8\sin(30^\circ). \end{cases}
Sabendo que \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\] e \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta, além de \cos0^\circ=1 e \sin0^\circ=0, obtemos:
\begin{cases} 4\cos105^\circ +6 + F\,\sin\theta = 8\cos30^\circ,\\\\ 4\sin105^\circ + F\,\cos\theta = 8\sin30^\circ. \end{cases}]

Passo 4

Calculamos os valores numéricos: \cos105^\circ\approx -0{,}2588, \sin105^\circ\approx 0{,}9659, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}8660, \sin30^\circ=0{,}5.
Substituindo:
\begin{cases} 4(-0{,}2588)+6 + F\sin\theta = 8(0{,}8660),\\\\ 4(0{,}9659) + F\cos\theta = 8(0{,}5). \end{cases}
Isto é,
\begin{cases} -1{,}0352 +6 + F\sin\theta =6{,}9280,\\\\ 3{,}8636 + F\cos\theta =4{,}0000. \end{cases}
Logo
\begin{cases} F\sin\theta =1{,}963,\\\ F\cos\theta =0{,}1364. \end{cases}

Passo 5

Daquelas igualdades segue
F = \sqrt{(F\sin\theta)^2 + (F\cos\theta)^2} = \sqrt{1{,}963^2 + 0{,}1364^2} \approx 1{,}97\text{ kN},
e
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{F\sin\theta}{F\cos\theta}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{1{,}963}{0{,}1364}\Bigr) \approx 86{,}0^\circ.

Resposta

F\approx 1{,}97,kN \theta\approx 86{,}0^\circ

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