Três partículas são mantidas fixas em um eixo x. A partícula 1 , de carga q_{1}, está em x=-a; a partícula 2 , de carga q_{2}, está em x=+a. Determine a razão q_{1} / q_{2} para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula (a) se a partícula 3 estiver no ponto x=+0,500 a; (b) se partícula 3 estiver no ponto x= +1,50 a.

Passo 1

O enunciado dá três partículas presas no eixo x: a partícula 1 com carga q_{1} em x=-a, a partícula 2 com carga q_{2} em x=+a e a partícula 3 (carga qualquer, chamemos de q_{3}) em um ponto x que varia. O objetivo é determinar a razão \,q_{1}/q_{2}\, tal que a força eletrostática resultante sobre a partícula 3 seja nula nos dois casos pedidos:
(a) quando a partícula 3 está em x=+0,500\,a;
(b) quando a partícula 3 está em x=+1,50\,a.
As informações relevantes listadas:
  • q_{1} está em x=-a.
  • q_{2} está em x=+a.
  • q_{3} está em x=0{,}500\,a no item (a) e em x=1{,}50\,a no item (b).
  • Precisamos achar \,q_{1}/q_{2}\, para que a soma vetorial das forças sobre q_{3} seja zero em cada caso.

Passo 2

Vamos lembrar a expressão da força entre duas cargas puntiformes (fórmula que usamos aqui; explico cada termo): \vec{F} = k\,\frac{q_i q_j}{r^2}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática (irrelevante para o quociente final porque cancela depois);
  • q_i e q_j são as cargas envolvidas;
  • r é a distância entre as cargas (sempre positiva);
  • \hat{r} é o versor que indica a direção da força (aponta de uma carga para a outra); o sinal do produto q_i q_j determina se a força é de repulsão (mesmo sinal) ou atração (sinais opostos).
Para o nosso problema, as forças sobre q_{3} provenientes de q_{1} e q_{2} atuam ao longo do eixo x. Podemos escrever a componente x da força total assim (usando a orientação positiva para a direita):
F_{\text{total},x}=k q_{3}\left(\frac{q_{1}}{(x+ a)^{2}}\cdot \operatorname{sgn}(x-(-a))+\frac{q_{2}}{(x- a)^{2}}\cdot \operatorname{sgn}(x-a)\right),
onde \operatorname{sgn}(\cdot) dá o sinal da direção do versor (positivo se a força produzida pelo gerador age para a direita, negativo se para a esquerda). Pedimos equilíbrio F_{\text{total},x}=0. Como k e q_{3} aparecem como fator comum, eles se cancelam, então a equação para o quociente q_{1}/q_{2} fica simples.

Passo 3

Agora escrevo a equação geral simplificada para F_{\text{total},x}=0, após dividir por k q_{3}:
\frac{q_{1}}{(x+ a)^{2}}\cdot \operatorname{sgn}(x+ a)+\frac{q_{2}}{(x- a)^{2}}\cdot \operatorname{sgn}(x- a)=0.
Observação sobre sinais: como x+ a>0 sempre (pois a>0 e x é finito), \operatorname{sgn}(x+ a)=+1. Assim a equação reduz para
\frac{q_{1}}{(x+ a)^{2}}+\frac{q_{2}}{(x- a)^{2}}\cdot \operatorname{sgn}(x- a)=0.
Dessa forma, para posições x entre -a e +a (isto é, x<a) temos \operatorname{sgn}(x-a)=-1 e a equação vira
\frac{q_{1}}{(x+ a)^{2}}-\frac{q_{2}}{(a- x)^{2}}=0,
ou seja
\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{(x+ a)^{2}}{(a- x)^{2}}.
Para posições x>a temos \operatorname{sgn}(x-a)=+1 e a equação vira
\frac{q_{1}}{(x+ a)^{2}}+\frac{q_{2}}{(x- a)^{2}}=0,
ou seja
\frac{q_{1}}{q_{2}}=-\,\frac{(x+ a)^{2}}{(x- a)^{2}}.

Passo 4

Aplicando ao item (a): x=0{,}500\,a. Note que x<a, logo usamos a fórmula para o ponto entre as cargas:
\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{(x+ a)^{2}}{(a- x)^{2}}.
Substituindo x=0{,}500\,a:
x+ a = 0{,}500\,a + 1{,}000\,a = 1{,}500\,a,
a- x = 1{,}000\,a - 0{,}500\,a = 0{,}500\,a.
Agora calculamos o quociente:
\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{(1{,}500\,a)^{2}}{(0{,}500\,a)^{2}}=\left(\frac{1{,}500}{0{,}500}\right)^{2}=\left(3\right)^{2}=9.

Passo 5

Interpretação rápida do sinal no item (a): o resultado \,q_{1}/q_{2}=9 é positivo, isto indica que q_{1} e q_{2} têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) e a razão entre seus módulos é 9. Mas a pergunta pediu só a razão numérica, então o valor é 9.

Passo 6

Aplicando ao item (b): x=1{,}50\,a. Agora x>a, então usamos a fórmula para ponto fora, à direita de q_{2}:
\frac{q_{1}}{q_{2}}=-\,\frac{(x+ a)^{2}}{(x- a)^{2}}.
Substituindo x=1{,}50\,a:
x+ a = 1{,}50\,a + 1{,}00\,a = 2{,}50\,a,
x- a = 1{,}50\,a - 1{,}00\,a = 0{,}50\,a.
Calculando o quociente:
\frac{q_{1}}{q_{2}}=-\,\frac{(2{,}50\,a)^{2}}{(0{,}50\,a)^{2}}=-\left(\frac{2{,}50}{0{,}50}\right)^{2}=-\left(5\right)^{2}=-25.

Passo 7

Interpretação rápida do sinal no item (b): o resultado \,q_{1}/q_{2}=-25 é negativo, indicando que q_{1} e q_{2} têm sinais opostos e que o módulo de q_{1} é 25 vezes o módulo de q_{2}. Mas, novamente, a pergunta pede a razão, então o valor final é -25.

Resposta

(a) 9
(b) -25

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