Três partículas são mantidas fixas em um eixo
. A partícula 1 , de carga
, está em
; a partícula 2 , de carga
, está em
. Determine a razão
para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula (a) se a partícula 3 estiver no ponto
; (b) se partícula 3 estiver no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá três partículas presas no eixo
: a partícula 1 com carga
em
, a partícula 2 com carga
em
e a partícula 3 (carga qualquer, chamemos de
) em um ponto
que varia. O objetivo é determinar a razão
tal que a força eletrostática resultante sobre a partícula 3 seja nula nos dois casos pedidos:
(a) quando a partícula 3 está em ;
(b) quando a partícula 3 está em .
(a) quando a partícula 3 está em
(b) quando a partícula 3 está em
As informações relevantes listadas:
-
está em . -
está em . -
está em no item (a) e em no item (b). - Precisamos achar
para que a soma vetorial das forças sobre seja zero em cada caso.
Passo 2
Vamos lembrar a expressão da força entre duas cargas puntiformes (fórmula que usamos aqui; explico cada termo):
onde:
-
é a constante eletrostática (irrelevante para o quociente final porque cancela depois); -
e são as cargas envolvidas; -
é a distância entre as cargas (sempre positiva); -
é o versor que indica a direção da força (aponta de uma carga para a outra); o sinal do produto determina se a força é de repulsão (mesmo sinal) ou atração (sinais opostos).
Para o nosso problema, as forças sobre
provenientes de
e
atuam ao longo do eixo
. Podemos escrever a componente
da força total assim (usando a orientação positiva para a direita):
onde
dá o sinal da direção do versor (positivo se a força produzida pelo gerador age para a direita, negativo se para a esquerda). Pedimos equilíbrio
. Como
e
aparecem como fator comum, eles se cancelam, então a equação para o quociente
fica simples.
Passo 3
Agora escrevo a equação geral simplificada para
, após dividir por
:
Observação sobre sinais: como
sempre (pois
e
é finito),
. Assim a equação reduz para
Dessa forma, para posições
entre
e
(isto é,
) temos
e a equação vira
ou seja
Para posições
temos
e a equação vira
ou seja
Passo 4
Aplicando ao item (a):
. Note que
, logo usamos a fórmula para o ponto entre as cargas:
Substituindo
:
Agora calculamos o quociente:
Passo 5
Interpretação rápida do sinal no item (a): o resultado
é positivo, isto indica que
e
têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) e a razão entre seus módulos é
. Mas a pergunta pediu só a razão numérica, então o valor é
.
Passo 6
Aplicando ao item (b):
. Agora
, então usamos a fórmula para ponto fora, à direita de
:
Substituindo
:
Calculando o quociente:
Passo 7
Interpretação rápida do sinal no item (b): o resultado
é negativo, indicando que
e
têm sinais opostos e que o módulo de
é
vezes o módulo de
. Mas, novamente, a pergunta pede a razão, então o valor final é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)