Os três primeiros picos de difração de um pó metálico são 2 \theta=44,4^{\circ}, 64,6^{\circ} e 81,7^{\circ} usando radiação CuKa com comprimento de onda \lambda=0,154 \mathrm{~nm}. Esse metal é CCC ou CFC? Calcule o parâmetro de rede do material.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (clarinho, sem resolver ainda):\n
Temos três picos de difração de um pó metálico medidos com radiação CuK \alpha de comprimento de onda \lambda = 0,154\\ \mathrm{nm}. Os três primeiros picos aparecem em \;2\theta = 44,4^\circ,\;64,6^\circ e \;81,7^\circ.\n
O que o problema pede:\n
  1. Determinar se o metal tem rede cúbica de corpo centrado (CCC) ou cúbica de face centrada (CFC).\n
  2. Calcular o parâmetro de rede a do material.\n
    Dados relevantes listados:\n
  • \lambda = 0,154\\ \mathrm{nm}\n
  • 2\theta_1 = 44,4^\circ\n
  • 2\theta_2 = 64,6^\circ\n
  • 2\theta_3 = 81,7^\circ\n

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):\n
Bragg (explicação curta): quando um feixe de raios X incide em planos cristalinos com espaçamento d, os máximos de difração ocorrem quando a diferença de caminho é um inteiro de comprimentos de onda. A condição de Bragg é
2 d \sin\theta = n\lambda,
onde \theta é o ângulo entre o feixe e o plano (na prática de pó usamos o primeiro máximo, n=1). Aqui \theta é metade de 2\theta que foi medido.\n
Para redes cúbicas (explicação): o espaçamento entre planos (hkl) em uma cúbica é
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},
onde a é o parâmetro de rede e h,k,l são os índices de Miller. Reorganizando:
\frac{1}{d_{hkl}^2}=\frac{h^2+k^2+l^2}{a^2}.
Assim, para picos diferentes da mesma amostra, os valores de 1/d^2 são proporcionais aos inteiros h^2+k^2+l^2.\n
Regra prática para distinguir CCC (BCC) e CFC (FCC):\n
  • Para CCC (BCC): só aparecem reflexões quando h+k+l é par; os primeiros valores possíveis de h^2+k^2+l^2 são 2,4,6,8,10,\dots (sequência típica: (110),(200),(211),(220),\dots).\n
  • Para CFC (FCC): só aparecem reflexões quando os índices são todos pares ou todos ímpares; os primeiros valores possíveis são 3,4,8,11,12,\dots (sequência típica: (111),(200),(220),(311),\dots).\n
    Vamos calcular os ds a partir de Bragg, obter 1/d^2 e ver a sequência de inteiros que aparece — isso diz se é CCC ou CFC.

Passo 3

Calcular os ângulos \theta (metade de 2\theta):\n
\theta_1=\frac{2\theta_1}{2}=\frac{44,4^\circ}{2}=22,2^\circ,
\theta_2=\frac{64,6^\circ}{2}=32,3^\circ,
\theta_3=\frac{81,7^\circ}{2}=40,85^\circ.

Passo 4

Calcular os espaçamentos d usando Bragg com n=1:\n
d=\frac{\lambda}{2\sin\theta}.
Agora aplicamos para cada pico (vou mostrar o seno aproximado que usei para cada \theta e o resultado numérico; mantenho vírgulas nas casas decimais):\n
Para o pico 1 ( \theta_1=22,2^\circ):\n
\sin(22,2^\circ)\approx 0,3778,
d_1=\frac{0,154\\ \mathrm{nm}}{2\cdot 0,3778}=\frac{0,154}{0,7556}\\ \mathrm{nm}\approx 0,2038\\ \mathrm{nm}.\n
Para o pico 2 ( \theta_2=32,3^\circ):\n
\sin(32,3^\circ)\approx 0,5343,
d_2=\frac{0,154}{2\cdot 0,5343}\\ \mathrm{nm}=\frac{0,154}{1,0686}\\ \mathrm{nm}\approx 0,1441\\ \mathrm{nm}.\n
Para o pico 3 ( \theta_3=40,85^\circ):\n
\sin(40,85^\circ)\approx 0,6542,
d_3=\frac{0,154}{2\cdot 0,6542}\\ \mathrm{nm}=\frac{0,154}{1,3084}\\ \mathrm{nm}\approx 0,1177\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Transformar para 1/d^2 e comparar razões (isso nos dá a sequência de inteiros h^2+k^2+l^2 até um fator comum):\n
Calculemos 1/d^2 para cada pico:\n
\frac{1}{d_1^2}=\frac{1}{(0,2038\\ \mathrm{nm})^2}\approx 24,07\\ \mathrm{nm}^{-2},
\frac{1}{d_2^2}=\frac{1}{(0,1441\\ \mathrm{nm})^2}\approx 48,16\\ \mathrm{nm}^{-2},
\frac{1}{d_3^2}=\frac{1}{(0,1177\\ \mathrm{nm})^2}\approx 72,13\\ \mathrm{nm}^{-2}.\n
Agora as razões em relação ao primeiro pico:\n
\frac{1/d_1^2}{1/d_1^2}=1,\quad \frac{1/d_2^2}{1/d_1^2}\approx \frac{48,16}{24,07}\approx 2,00,\quad \frac{1/d_3^2}{1/d_1^2}\approx \frac{72,13}{24,07}\approx 3,00.\n
Ou seja, a sequência proporcional é 1:2:3.

Passo 6

Interpretação da sequência 1:2:3 comparando com as sequências esperadas para CCC (BCC) e CFC (FCC):\n
  • Para CFC (FCC) a sequência de primeiros h^2+k^2+l^2 permitidos é 3,4,8,\dots ; as razões relativas seriam aproximadamente 1,33,2,67,\dots — não bate com 1:2:3.\n
  • Para CCC (BCC) a sequência de primeiros h^2+k^2+l^2 permitidos é 2,4,6,\dots ; se normalizarmos pelo primeiro (2) obtemos 1,2,3 — que é exatamente o que observamos.\n
    Portanto a identificação é CCC (cúbica de corpo centrado, ou BCC).

Passo 7

Atribuir índices de Miller aos picos (compatível com CCC/BCC):\n
Como para BCC a primeira soma h^2+k^2+l^2 = 2 corresponde ao plano (110), a segunda = 4 é (200) e a terceira = 6 é (211). Assim:\n
  • pico 1 ( 2\theta=44,4^\circ) \to (110) com h^2+k^2+l^2=2,\n
  • pico 2 ( 2\theta=64,6^\circ) \to (200) com h^2+k^2+l^2=4,\n
  • pico 3 ( 2\theta=81,7^\circ) \to (211) com h^2+k^2+l^2=6.

Passo 8

Calcular o parâmetro de rede a a partir de d e dos índices (faço para cada pico para checar consistência):\n
Fórmula usada:
a=d_{hkl}\sqrt{h^2+k^2+l^2}.\n
Usando o pico 1 ( d_1=0,2038\\ \mathrm{nm}, soma =2):\n
a_1=0,2038\cdot\sqrt{2}=0,2038\cdot 1,41421\approx 0,2881\\ \mathrm{nm}.\n
Usando o pico 2 ( d_2=0,1441\\ \mathrm{nm}, soma =4):\n
a_2=0,1441\cdot\sqrt{4}=0,1441\cdot 2=0,2882\\ \mathrm{nm}.\n
Usando o pico 3 ( d_3=0,1177\\ \mathrm{nm}, soma =6):\n
a_3=0,1177\cdot\sqrt{6}=0,1177\cdot 2,44949\approx 0,2881\\ \mathrm{nm}.\n
Os três valores são consistentes; tomando uma média (ou arredondando com número razoável de algarismos significativos) temos\n
a\approx 0,288\\ \mathrm{nm}.

Passo 9

Recapitulando (um empurrãozinho final motivador):\n
  • A sequência de razões 1:2:3 para 1/d^2 indica a sequência 2,4,6 de h^2+k^2+l^2, que é típica de CCC (BCC).\n
  • O parâmetro de rede calculado a partir dos três picos deu de forma consistente a\approx 0,288\\ \mathrm{nm}.\n
    Força aí — deu certo e os números batem direitinho!

Resposta

CCC (cúbica de corpo centrado)\n
a = 0,288\\ \mathrm{nm}

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