6.7 Um projeto de aterro requer 5.000 \mathrm{~m}^{3} de solo compactado. O indice de vazios especificado para o aterro compactado é de 0,75 . O solo pode ser transportado de uma das quatro áreas de empréstimo conforme descrito na seguinte tabela. O índice de vazios, o peso específico relativo de sólidos de solo e o custo por metro cúbico para deslocamento de solo para o local de construção proposto são fornecidos na tabela.
a. Determine o volume de cada solo de área de empréstimo necessário para atender à especificação do local de aterro.
b. Faça os cálculos necessários para selecionar a área de empréstimo que teria o custo mais compensador.
Área de empréstimo Indice de vazios \boldsymbol{G}, Custo \left(\$ / \mathrm{m}^{3}\right)
I 0,8 2,65 9
II 0,9 2,68 6
III 1,1 2,71 7
IV 0,85 2,74 10

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede:
    a) Determinar o volume de solo que deve ser retirado de cada área de empréstimo para obter 5{,}000\\ \mathrm{m}^3 de aterro compactado com índice de vazios especificado.
    b) Calcular os custos correspondentes e escolher a área de empréstimo com menor custo total (a mais econômica).
  • Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    Área I: índice de vazios e_I=0{,}80, G_I=2{,}65, custo \$9/\mathrm{m}^3.
    Área II: índice de vazios e_{II}=0{,}90, G_{II}=2{,}68, custo \$6/\mathrm{m}^3.
    Área III: índice de vazios e_{III}=1{,}10, G_{III}=2{,}71, custo \$7/\mathrm{m}^3.
    Área IV: índice de vazios e_{IV}=0{,}85, G_{IV}=2{,}74, custo \$10/\mathrm{m}^3.
  • Informação adicional do enunciado: volume final de aterro compactado V_c = 5{,}000\\ \mathrm{m}^3 e índice de vazios especificado para o aterro compactado e_c = 0{,}75.
  • Observação importante (uso de G): os valores de G (peso específico relativo dos sólidos) estão na tabela, mas para este problema — em que o custo é dado por metro cúbico de solo deslocado — não precisamos convertê-los em massa; o cálculo do volume necessário do empréstimo depende apenas dos índices de vazios (explico melhor nos próximos passos).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho): índice de vazios e volumes.
  • Definições: considere um volume de solo total V. Esse volume é a soma do volume de sólidos V_s com o volume de vazios V_v:
V = V_s + V_v.
  • O índice de vazios e é definido como a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • Podemos reescrever V em função de V_s e e: substituindo V_v=eV_s em V=V_s+V_v obtemos
V = V_s(1+e).
  • Dessa formulação, o volume de sólidos é
V_s=\frac{V}{1+e}.
Interpretação simples: para um dado volume total de solo, quanto maior e (mais vazios), menor é a fração de sólidos nesse volume; para conservar a mesma quantidade de sólidos precisamos retirar mais volume quando o solo do empréstimo é mais “poroso” (maior e).

Passo 3

Relação entre o volume compacto exigido e o volume a retirar no empréstimo (derivação).
  • Supondo que não há perda de sólidos entre escavação e compactação (i.e., a massa de sólidos que sai da frente de lavra é igual à massa de sólidos que fica no aterro), temos conservação do volume de sólidos: V_{s,\text{empréstimo}} = V_{s,\text{compactado}}é.
  • Para o aterro compactado (subscrito c) temos:
V_{s,\text{compactado}}=\frac{V_c}{1+e_c}.
  • Para o solo no empréstimo (subscrito b, de “borrow”) o volume total necessário V_b satisfaz:
V_{s,\text{empréstimo}}=\frac{V_b}{1+e_b}.é
  • Igualando as duas expressões por conservação de sólidos e isolando V_b obtemos a fórmula prática que usaremos:
\frac{V_b}{1+e_b}=\frac{V_c}{1+e_c} \quad\Longrightarrow\quad V_b = V_c\cdot\frac{1+e_b}{1+e_c}.
Essa fórmula é intuitiva: multiplicamos o volume compacto exigido por uma razão de correção \dfrac{1+e_b}{1+e_c}. Note que o G não apareceu — ele seria necessário se quiséssemos trabalhar com massas ou pesos, ou se o custo fosse por tonelada; como o custo foi dado por metro cúbico, usamos apenas volumes e índices de vazios.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos quatro empréstimos (cálculo dos volumes de empréstimo).
  • Primeiro calculemos 1+e_c (dados do enunciado):
1+e_c = 1 + 0{,}75 = 1{,}75.
Agora para cada área calculemos V_b = 5{,}000\cdot\frac{1+e_b}{1{,}75}.
Área I ( e_I=0{,}80):
1+e_I = 1{,}80,\qquad V_{b,I} = 5{,}000\cdot\frac{1{,}80}{1{,}75} =5{,}000\cdot 1{,}028571\ldots =5{,}142{,}857\ldots\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): V_{b,I}=5{,}142{,}86\\ \mathrm{m}^3.
Área II ( e_{II}=0{,}90):
1+e_{II}=1{,}90,\qquad V_{b,II}=5{,}000\cdot\frac{1{,}90}{1{,}75} =5{,}000\cdot 1{,}085714\ldots =5{,}428{,}571\ldots\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando: V_{b,II}=5{,}428{,}57\\ \mathrm{m}^3.
Área III ( e_{III}=1{,}10):
1+e_{III}=2{,}10,\qquad V_{b,III}=5{,}000\cdot\frac{2{,}10}{1{,}75} =5{,}000\cdot 1{,}20 =6{,}000{,}00\\ \mathrm{m}^3.
Área IV ( e_{IV}=0{,}85):
1+e_{IV}=1{,}85,\qquad V_{b,IV}=5{,}000\cdot\frac{1{,}85}{1{,}75} =5{,}000\cdot 1{,}057142\ldots =5{,}285{,}714\ldots\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando: V_{b,IV}=5{,}285{,}71\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Cálculo dos custos totais para cada área de empréstimo e escolha da mais econômica.
  • Para cada área multiplicamos o volume de empréstimo V_b pelo custo por metro cúbico (valor dado na tabela — peguei da tabela). Os produtos são:
Área I (custo \$9/\mathrm{m}^3):
\text{Custo}_I = V_{b,I}\times 9 =5{,}142{,}857\ldots\times 9 =46{,}285{,}714\ldots\\ \$
Arredondando: \$46{,}285{,}71.
Área II (custo \$6/\mathrm{m}^3):
\text{Custo}_{II} = 5{,}428{,}571\ldots\times 6 =32{,}571{,}428\ldots\\ \$
Arredondando: \$32{,}571{,}43.
Área III (custo \$7/\mathrm{m}^3):
\text{Custo}_{III} = 6{,}000\times 7 = 42{,}000\\ \$
Área IV (custo \$10/\mathrm{m}^3):
\text{Custo}_{IV} = 5{,}285{,}714\ldots\times 10 =52{,}857{,}142\ldots\\ \$
Arredondando: \$52{,}857{,}14.
  • Comparando os quatro custos: \$46{,}285{,}71 (I), \$32{,}571{,}43 (II), \$42{,}000{,}00 (III), \$52{,}857{,}14 (IV), o menor custo total é o da Área II. Portanto a opção mais compensadora (mais econômica) é a Área II.

Resposta

Área I: V_{b,I}=5{,}142{,}86\\ \mathrm{m}^3 ; custo total \$46{,}285{,}71
Área II: V_{b,II}=5{,}428{,}57\\ \mathrm{m}^3 ; custo total \$32{,}571{,}43
Área III: V_{b,III}=6{,}000{,}00\\ \mathrm{m}^3 ; custo total \$42{,}000{,}00
Área IV: V_{b,IV}=5{,}285{,}71\\ \mathrm{m}^3 ; custo total \$52{,}857{,}14
Área com menor custo (mais compensadora): Área II, custo total \$32{,}571{,}43.

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