6.7 Um projeto de aterro requer
de solo compactado. O indice de vazios especificado para o aterro compactado é de 0,75 . O solo pode ser transportado de uma das quatro áreas de empréstimo conforme descrito na seguinte tabela. O índice de vazios, o peso específico relativo de sólidos de solo e o custo por metro cúbico para deslocamento de solo para o local de construção proposto são fornecidos na tabela.
a. Determine o volume de cada solo de área de empréstimo necessário para atender à especificação do local de aterro.
b. Faça os cálculos necessários para selecionar a área de empréstimo que teria o custo mais compensador.
Área de empréstimo
Indice de vazios
,
Custo
I
0,8
2,65
9
II
0,9
2,68
6
III
1,1
2,71
7
IV
0,85
2,74
10
a. Determine o volume de cada solo de área de empréstimo necessário para atender à especificação do local de aterro.
b. Faça os cálculos necessários para selecionar a área de empréstimo que teria o custo mais compensador.
| Área de empréstimo | Indice de vazios |
|
Custo
|
| I | 0,8 | 2,65 | 9 |
| II | 0,9 | 2,68 | 6 |
| III | 1,1 | 2,71 | 7 |
| IV | 0,85 | 2,74 | 10 |
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- O enunciado pede:
a) Determinar o volume de solo que deve ser retirado de cada área de empréstimo para obterde aterro compactado com índice de vazios especificado.
b) Calcular os custos correspondentes e escolher a área de empréstimo com menor custo total (a mais econômica). - Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
Área I: índice de vazios, , custo .
Área II: índice de vazios, , custo .
Área III: índice de vazios, , custo .
Área IV: índice de vazios, , custo . - Informação adicional do enunciado: volume final de aterro compactado
e índice de vazios especificado para o aterro compactado . - Observação importante (uso de
): os valores de (peso específico relativo dos sólidos) estão na tabela, mas para este problema — em que o custo é dado por metro cúbico de solo deslocado — não precisamos convertê-los em massa; o cálculo do volume necessário do empréstimo depende apenas dos índices de vazios (explico melhor nos próximos passos).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho): índice de vazios e volumes.
- Definições: considere um volume de solo total
. Esse volume é a soma do volume de sólidos com o volume de vazios :
- O índice de vazios
é definido como a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos:
- Podemos reescrever
em função de e : substituindo em obtemos
- Dessa formulação, o volume de sólidos é
Interpretação simples: para um dado volume total de solo, quanto maior
(mais vazios), menor é a fração de sólidos nesse volume; para conservar a mesma quantidade de sólidos precisamos retirar mais volume quando o solo do empréstimo é mais “poroso” (maior
).
Passo 3
Relação entre o volume compacto exigido e o volume a retirar no empréstimo (derivação).
- Supondo que não há perda de sólidos entre escavação e compactação (i.e., a massa de sólidos que sai da frente de lavra é igual à massa de sólidos que fica no aterro), temos conservação do volume de sólidos:
. - Para o aterro compactado (subscrito
) temos:
- Para o solo no empréstimo (subscrito
, de “borrow”) o volume total necessário satisfaz:
- Igualando as duas expressões por conservação de sólidos e isolando
obtemos a fórmula prática que usaremos:
Essa fórmula é intuitiva: multiplicamos o volume compacto exigido por uma razão de correção
. Note que o
não apareceu — ele seria necessário se quiséssemos trabalhar com massas ou pesos, ou se o custo fosse por tonelada; como o custo foi dado por metro cúbico, usamos apenas volumes e índices de vazios.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos quatro empréstimos (cálculo dos volumes de empréstimo).
- Primeiro calculemos
(dados do enunciado):
Agora para cada área calculemos
.
Área I (
):
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
.
Área II (
):
Arredondando:
.
Área III (
):
Área IV (
):
Arredondando:
.
Passo 5
Cálculo dos custos totais para cada área de empréstimo e escolha da mais econômica.
- Para cada área multiplicamos o volume de empréstimo
pelo custo por metro cúbico (valor dado na tabela — peguei da tabela). Os produtos são:
Área I (custo
):
Arredondando:
.
Área II (custo
):
Arredondando:
.
Área III (custo
):
Área IV (custo
):
Arredondando:
.
- Comparando os quatro custos:
(I), (II), (III), (IV), o menor custo total é o da Área II. Portanto a opção mais compensadora (mais econômica) é a Área II.
Resposta
Área I:
; custo total
Área II: ; custo total
Área III: ; custo total
Área IV: ; custo total
Área com menor custo (mais compensadora): Área II, custo total .
Área II:
Área III:
Área IV:
Área com menor custo (mais compensadora): Área II, custo total