Em um triângulo ABC , os ângulos B e C medem 75^{\circ} cada.Sendo \mathrm{A}(0,0) e \mathrm{B}(-2,4), determinar o vertice C . Faça o desenho do triângulo no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • O triângulo é ABC.
    • Os ângulos B e C medem 75^\circ cada.
    • O vértice A tem coordenadas A(0,0).
    • O vértice B tem coordenadas B(-2,4).
  • O que é pedido:
    • Determinar as coordenadas do vértice C.
    • Fazer (descrever) o desenho do triângulo no plano cartesiano.
Observação importante: o enunciado já dá duas medidas de ângulo, então a medida do ângulo em A fica determinada pelo fato de os três ângulos somarem 180^\circ. A resolução começa a partir disso.

Passo 2

Primeira dedução simples (sem cálculos pesados): como B=75^\circ e C=75^\circ, o ângulo A é
A = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ.
Além disso, em um triângulo, se dois ângulos são iguais (aqui B=C), então os lados opostos a esses ângulos são iguais. Usando notação usual de lados:
  • a = BC (oposto a A),
  • b = CA (oposto a B),
  • c = AB (oposto a C).
Como B=C temos \sin B = \sin C e, pela lei dos senos,
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\quad\Rightarrow\quad b=c.
Portanto
CA = AB.
Isto é muito útil: o segmento AC tem o mesmo comprimento que AB. Essa simetria simplifica muito achar C.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} e o comprimento de AB. Como A(0,0) e B(-2,4),
\overrightarrow{AB} = B-A = (-2,4).
O comprimento de AB é
c = | \overrightarrow{AB} | = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

Interpretação geométrica que vamos usar: o ângulo no vértice A é o ângulo entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Como |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| e o ângulo entre eles deve ser A=30^\circ, podemos obter \overrightarrow{AC} girando o vetor \overrightarrow{AB} em torno de A por +30^\circ ou por -30^\circ. Isso gera as duas posições possíveis de C (uma de cada lado da reta que contém AB).
Explicando a rotação de vetores (mini-aula):
  • Rotacionar um vetor (x,y) por um ângulo \theta usa a matriz de rotação
R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
  • O vetor rotacionado é
\begin{pmatrix}x'\\[4pt]y'\end{pmatrix} = R_\theta\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\cos\theta - y\sin\theta\\[4pt]x\sin\theta + y\cos\theta\end{pmatrix}.
No nosso caso (x,y)=(-2,4) e \theta=\pm 30^\circ. Lembre que
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.]

Passo 5

Calcular \overrightarrow{AC} rotacionando \overrightarrow{AB}=(-2,4) por +30^\circ.
Usando a fórmula:
x' = (-2)\cos 30^\circ - 4\sin 30^\circ = (-2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\cdot\frac{1}{2} = -\sqrt{3} - 2,
y' = (-2)\sin 30^\circ + 4\cos 30^\circ = (-2)\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + 2\sqrt{3}.
Como A=(0,0), o ponto C resultante é
C_1\bigl(x,y\bigr) = \bigl(-(\sqrt{3}+2),\;2\sqrt{3}-1\bigr).

Passo 6

Calcular \overrightarrow{AC} rotacionando \overrightarrow{AB}=(-2,4) por -30^\circ.
Agora \sin(-30^\circ)=-\tfrac{1}{2}, \cos(-30^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Aplicando:
x'' = (-2)\cos 30^\circ - 4\sin(-30^\circ) = (-2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + 2,
y'' = (-2)\sin(-30^\circ) + 4\cos 30^\circ = (-2)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}.
Portanto o outro possível vértice C é
C_2\bigl(x,y\bigr) = \bigl(2-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}+1\bigr).

Passo 7

Verificação rápida de que as duas soluções satisfazem |AC|=|AB|=2\sqrt{5} (confirmação de consistência):
Para C_1:
|AC_1|^2 = \bigl(-(\sqrt{3}+2)\bigr)^2 + \bigl(2\sqrt{3}-1\bigr)^2 = (7+4\sqrt{3}) + (13-4\sqrt{3}) = 20,
logo |AC_1|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Para C_2:
|AC_2|^2 = (2-\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3}+1)^2 = (7-4\sqrt{3}) + (13+4\sqrt{3}) = 20,
logo |AC_2|=2\sqrt{5}.
Assim ambas as alternativas estão corretas (são os dois espelhos da mesma configuração).

Passo 8

Instruções para desenhar o triângulo no plano cartesiano (passo a passo prático):
  • Desenhe os eixos x e y e marque uma escala apropriada (por exemplo, unidade = 1).
  • Marque A na origem: A(0,0).
  • Marque B no ponto (-2,4). Para isso, mova 2 unidades à esquerda e 4 unidades para cima.
  • Desenhe o segmento AB.
  • Marque os dois possíveis pontos C com as coordenadas exatas:
    • C_1\bigl(-(\sqrt{3}+2),\;2\sqrt{3}-1\bigr). Numericamente, \sqrt{3}\approx1{,}732, então C_1\approx(-3{,}732,\;2{,}464).
    • C_2\bigl(2-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}+1\bigr). Numericamente, C_2\approx(0{,}268,\;4{,}464).
  • Para cada C_i desenhe os segmentos AC_i e BC_i. Assim obterá os dois triângulos possíveis (espelhados). Um ficará com C à esquerda de AB e o outro com C à direita.
Dica de leitura do desenho: ambos os triângulos têm \angle A=30^\circ e \angle B=\angle C=75^\circ; a escolha entre C_1 e C_2 depende só de que lado da reta AB o vértice C esteja.

Resposta

\,C_1\bigl(-(\sqrt{3}+2),\;2\sqrt{3}-1\bigr)
\,C_2\bigl(2-\sqrt{3},\;2\sqrt{3}+1\bigr)

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