Em um triângulo ABC , os ângulos B e C medem 75^{\circ} cada.Sendo \mathrm{A}(0,0) e \mathrm{B}(-2,4), determinar o vertice C . Faça o desenho do triângulo no plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
O triângulo é ABC.
Os ângulos B e C medem 75^\circ cada.
O vértice A tem coordenadas A(0,0).
O vértice B tem coordenadas B(-2,4).
O que é pedido:
Determinar as coordenadas do vértice C.
Fazer (descrever) o desenho do triângulo no plano cartesiano.
Observação importante: o enunciado já dá duas medidas de ângulo, então a medida do ângulo em A fica determinada pelo fato de os três ângulos somarem 180^\circ. A resolução começa a partir disso.
Passo 2
Primeira dedução simples (sem cálculos pesados): como B=75^\circ e C=75^\circ, o ângulo A é
A = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ.
Além disso, em um triângulo, se dois ângulos são iguais (aqui B=C), então os lados opostos a esses ângulos são iguais. Usando notação usual de lados:
a = BC (oposto a A),
b = CA (oposto a B),
c = AB (oposto a C).
Como B=C temos \sin B = \sin C e, pela lei dos senos,
Interpretação geométrica que vamos usar: o ângulo no vértice A é o ângulo entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Como |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| e o ângulo entre eles deve ser A=30^\circ, podemos obter \overrightarrow{AC} girando o vetor \overrightarrow{AB} em torno de A por +30^\circ ou por -30^\circ. Isso gera as duas posições possíveis de C (uma de cada lado da reta que contém AB).
Explicando a rotação de vetores (mini-aula):
Rotacionar um vetor (x,y) por um ângulo \theta usa a matriz de rotação
Para cada C_i desenhe os segmentos AC_i e BC_i. Assim obterá os dois triângulos possíveis (espelhados). Um ficará com C à esquerda de AB e o outro com C à direita.
Dica de leitura do desenho: ambos os triângulos têm \angle A=30^\circ e \angle B=\angle C=75^\circ; a escolha entre C_1 e C_2 depende só de que lado da reta AB o vértice C esteja.