Determinar o núcleo, uma base para esse subesáço e sua dimensão, T é injetora?
T(x, y)=(-3 y+x, 3 x-y)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-3y+x,\;3x-y).
  • Perguntas:
    1. Determinar o núcleo (núcleo = conjunto de vetores que vão para o vetor zero).
    2. Dar uma base para esse subespaço (o núcleo) e sua dimensão.
    3. Dizer se T é injetora.

Passo 2

Escrever a transformação na forma matricial (relativa à base canônica) — passo prático que facilita resolver o núcleo.
  • A primeira coordenada de T(x,y) é -3y+x. Isso corresponde aos coeficientes de x e y: 1 em x e -3 em y.
  • A segunda coordenada é 3x-y. Coeficientes: 3 em x e -1 em y.
Logo a matriz associada A (colocando colunas conforme coeficientes de x e y) é
A=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix},
e procurar o núcleo equivale a resolver A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definir matematicamente o núcleo e escrever o sistema linear correspondente.
  • Núcleo: \ker T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
  • Escrevendo T(x,y)=(0,0) obtemos o sistema
\begin{cases} x-3y=0,\\[4pt] 3x-y=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
  • Da primeira equação \;x-3y=0\; segue
x=3y.
  • Substituindo na segunda equação \;3x-y=0\;:
3(3y)-y=0 \quad\Rightarrow\quad 9y-y=0 \quad\Rightarrow\quad 8y=0.
  • Portanto \;y=0. Usando x=3y obtemos \;x=3\cdot 0=0.
Conclusão do cálculo: a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).

Passo 5

Interpretar o resultado e descrever o núcleo.
  • Como a única solução é o vetor zero, o núcleo é o subespaço trivial:
\ker T=\{(0,0)\}.

Passo 6

Dar uma base para o núcleo e calcular sua dimensão, explicando a razão.
  • O subespaço \{(0,0)\} (subespaço nulo) não admite nenhum vetor não-nulo. Uma base precisa ser um conjunto linearmente independente que gere o subespaço. O único conjunto que satisfaz isso é o conjunto vazio.
  • Assim, uma base para \ker T é o conjunto vazio \varnothing.
  • A dimensão do núcleo (nullidade) é o número de vetores em uma base, logo
\dim(\ker T)=0.

Passo 7

Determinar se T é injetora e explicar o critério usado.
  • Critério: uma transformação linear é injetora se, e só se, seu núcleo for \{0\}.
  • Como \ker T=\{(0,0)\}, concluímos que T é injetora.
  • Comentário extra útil (opcional): pelo teorema da dimensão (rank–nullity), \dim(\mathrm{Im}\,T)=2-0=2, portanto \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^2 e T é também sobrejetora (mas a pergunta pedia só injetividade).

Resposta

\ker T=\{(0,0)\}
base do núcleo: \varnothing
\dim(\ker T)=0
T é injetora? Sim.

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