Determinar o núcleo, uma base para esse subesáço e sua dimensão, T é injetora?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a transformação linear
definida por
- Perguntas:
- Determinar o núcleo (núcleo = conjunto de vetores que vão para o vetor zero).
- Dar uma base para esse subespaço (o núcleo) e sua dimensão.
- Dizer se
é injetora.
Passo 2
Escrever a transformação na forma matricial (relativa à base canônica) — passo prático que facilita resolver o núcleo.
- A primeira coordenada de
é . Isso corresponde aos coeficientes de e : em e em . - A segunda coordenada é
. Coeficientes: em e em .
Logo a matriz associada
(colocando colunas conforme coeficientes de
e
) é
e procurar o núcleo equivale a resolver
.]
Passo 3
Definir matematicamente o núcleo e escrever o sistema linear correspondente.
- Núcleo:
. - Escrevendo
obtemos o sistema
Vou resolver esse sistema passo a passo.]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo.
- Da primeira equação
segue
- Substituindo na segunda equação
:
- Portanto
. Usando obtemos .
Conclusão do cálculo: a única solução do sistema é
.
Passo 5
Interpretar o resultado e descrever o núcleo.
- Como a única solução é o vetor zero, o núcleo é o subespaço trivial:
Passo 6
Dar uma base para o núcleo e calcular sua dimensão, explicando a razão.
- O subespaço
(subespaço nulo) não admite nenhum vetor não-nulo. Uma base precisa ser um conjunto linearmente independente que gere o subespaço. O único conjunto que satisfaz isso é o conjunto vazio. - Assim, uma base para
é o conjunto vazio . - A dimensão do núcleo (nullidade) é o número de vetores em uma base, logo
Passo 7
Determinar se
é injetora e explicar o critério usado.
- Critério: uma transformação linear é injetora se, e só se, seu núcleo for
. - Como
, concluímos que é injetora. - Comentário extra útil (opcional): pelo teorema da dimensão (rank–nullity),
, portanto e é também sobrejetora (mas a pergunta pedia só injetividade).
Resposta
base do núcleo: