Um triângulo equilátero tem lado de medida 2cm. Ao unir os pontos médios dos três lados desse triângulo, é obtido outro triângulo equilátero. Juntando novamente os pontos médios do triângulo anterior, é encontrado outro triângulo equilátero, e assim sucessivamente. Nesse contexto, qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos equiláteros possíveis de serem traçados?
A 9
B 12
C 15
D 18
E 21
A 9
B 12
C 15
D 18
E 21
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: temos um triângulo equilátero com lados de 2 cm. Ao conectar os pontos médios dos lados, criamos um novo triângulo equilátero menor. Esse processo continua repetidamente. A pergunta é qual a soma dos perímetros de todos esses triângulos que podemos formar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o perímetro do triângulo inicial. Como é equilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento.
Passo 3
Agora, ao unir os pontos médios dos lados desse triângulo, formamos um novo triângulo equilátero com lados menores. O comprimento de cada lado desse novo triângulo é a metade do lado anterior.
Então, o perímetro do segundo triângulo é:
Passo 4
Esse processo continua infinitamente, formando uma sequência onde cada perímetro é a metade do anterior. Isso forma uma progressão geométrica com:
- Primeiro termo (
) = 6 cm - Razão (
) = 0,5
A sequência fica assim: 6 cm, 3 cm, 1,5 cm, 0,75 cm, e assim por diante.
Passo 5
Para encontrar a soma de todos esses perímetros, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
Substituindo os valores:
Resposta
B) 12