Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas. Os pesos, após convenientemente agrupados, forneceram a seguinte distribuição de frequências (em gramas):
x_{i} f_{i}
31,5 1
32,5 5
33,5 11
34,5 8
35,5 3
36,5 2
Construa o polígono de frequências relativas acumuladas para os dados.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de frequências para os pesos (em gramas) de 30 embalagens, agrupados com as seguintes marcas de classe x_i e suas frequências f_i:
\begin{array}{cc} x_i & f_i\\hline 31,5 & 1\\\\ 32,5 & 5\\\\ 33,5 & 11\\\\ 34,5 & 8\\\\ 35,5 & 3\\\\ 36,5 & 2 \end{array}
O que se pede: construir o polígono de frequências relativas acumuladas (ogiva) para esses dados. Em outras palavras, determinar os pontos que devem ser plotados (abscissas = limites de classe; ordenadas = frequência relativa acumulada) e explicar como traçar o polígono.

Passo 2

Identificar as classes e os limites de classe a partir das marcas x_i. Cada marca termina sendo o ponto médio de uma classe de amplitude \,1 grama (pois as marcas diferem por 1). Assim a classe com marca 31,5 corresponde ao intervalo
[31,32),
a marca 32,5 corresponde a
[32,33),
e assim por diante até a marca 36,5 que corresponde a
[36,37).
Para construir a ogiva (polígono de frequências relativas acumuladas) usa-se tipicamente os limites superiores das classes como abscissas; por isso os limites superiores relevantes são
32,\;33,\;34,\;35,\;36,\;37.
Também é comum começar a ogiva no limite inferior anterior ao primeiro intervalo com frequência acumulada 0, ou seja em x=31 com 0.

Passo 3

Calcular as frequências relativas p_i dividindo f_i pelo total 30:
p_i=\frac{f_i}{30}.
Vamos calcular cada uma exatamente (frações) e em aproximação decimal:
\begin{aligned} p_1&=\frac{1}{30}\approx 0,0333\ldots,\\\ p_2&=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\approx 0,1666\ldots,\\\ p_3&=\frac{11}{30}\approx 0,3666\ldots,\\\ p_4&=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\approx 0,2666\ldots,\\\ p_5&=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0,1,\\\ p_6&=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\approx 0,0666\ldots. \end{aligned}

Passo 4

Calcular as frequências relativas acumuladas P_k, que são somas parciais das p_i:
P_k=\sum_{i=1}^{k} p_i.
Computando explicitamente:
\begin{aligned} P_1&=\frac{1}{30}\approx 0,0333\ldots,\\\ P_2&=\frac{1+5}{30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0,2,\\\ P_3&=\frac{1+5+11}{30}=\frac{17}{30}\approx 0,5666\ldots,\\\ P_4&=\frac{1+5+11+8}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}\approx 0,8333\ldots,\\\ P_5&=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}\approx 0,9333\ldots,\\\ P_6&=\frac{30}{30}=1. \end{aligned}

Passo 5

Listar os pontos que devem ser plotados para construir a ogiva (polígono de frequências relativas acumuladas). Como explicado, começa-se em x=31 com 0 e em cada limite superior de classe coloca-se a correspondente frequência relativa acumulada. Os pontos (abscissa, ordenada) são:
(31,\,0),
(32,\,\tfrac{1}{30}),
(33,\,\tfrac{6}{30}=\tfrac{1}{5}),
(34,\,\tfrac{17}{30}),
(35,\,\tfrac{25}{30}=\tfrac{5}{6}),
(36,\,\tfrac{28}{30}=\tfrac{14}{15}),
(37,\,1).
Ao desenhar: marcar no eixo x os valores de 31 a 37, no eixo y de 0 a 1 (ou em porcentagem 0\% a 100\%), plotar os pontos acima e unir por segmentos de reta na ordem dada. Etiquetar os valores de P_k se desejar (por exemplo 0,0333\ldots,\;0,2,\;0,5666\ldots,\;0,8333\ldots,\;0,9333\ldots,\;1).

Resposta

(31,\,0)
(32,\,\tfrac{1}{30})
(33,\,\tfrac{6}{30}=\tfrac{1}{5})
(34,\,\tfrac{17}{30})
(35,\,\tfrac{25}{30}=\tfrac{5}{6})
(36,\,\tfrac{28}{30}=\tfrac{14}{15})
(37,\,1)

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