Atividade 2

Faça a distribuição de frequências (tabular e gráfica) da variável ‘Salário’. Use classes de amplitude igual a 3 e não esqueça da formatação da tabela e figura. Na tabela apresente as frequências absolutas, relativas, percentuais e acumuladas. Escolha um tipo de frequências para construir o gráfico. Em anexo seguem os dados.
Companhia MB
Os dados abaixo correspondem a uma pesquisa realizada na Cia MB.
Foram selecionados 36 funcionários e observadas as seguintes variáveis:
estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário(em \mathrm{n}^{\circ} de salários mínimos),
idade (em anos) e região de procedência.
Dados da Tabela 2.1. Pag 11 do livro.
No Estado Instrução Número de Salário Idade Procedência
Civil Filhos
1 Solteiro ensino fundamental 4 26 Interior
2 Casado ensino fundamental 1 4,56 32 Capital
3 Casado ensino fundamental 2 5,25 36 Capital
4 Solteiro ensino médio 5,73 21 Outro
5 Solteiro ensino fundamental 6,26 41 Outro
6 Casado ensino fundamental 0 6,66 28 Interior
7 Solteiro ensino fundamental 6,86 41 Interior
8 Solteiro ensino fundamental 7,39 43 Capital
9 Casado ensino médio 1 7,59 34 Capital
10 Solteiro ensino médio 7,44 24 Outro
11 Casado ensino médio 2 8,12 34 Interior
12 Solteiro ensino fundamental 8,46 28 Capital
13 Solteiro ensino médio 8,74 37 Outro
14 Casado ensino fundamental 3 8,95 44 Outro
15 Casado ensino médio 0 9,13 30 Interior
16 Solteiro ensino médio 9,35 39 Outro
17 Casado ensino médio 1 9,77 32 Capital
18 Casado ensino fundamental 2 9,8 40 Outro
19 Solteiro superior 10,53 26 Interior
20 Solteiro ensino médio 10,76 37 Interior
21 Casado ensino médio 1 11,06 31 Outro
22 Solteiro ensino médio 11,59 34 Capital
23 Solteiro ensino fundamental 12 41 Outro
24 Casado superior 0 12,79 26 Outro
25 Casado ensino médio 2 13,23 32 Interior
26 Casado ensino fundamental 2 13,6 35 Outro
27 Solteiro ensino médio 13,85 47 Outro
28 Casado ensino médio 0 14,69 30 Interior
29 Casado ensino médio 5 14,71 41 Interior
30 Casado ensino médio 2 15,99 36 Capital
31 Solteiro superior 16,22 31 Outro
32 Casado ensino médio 1 16,61 36 Interior
33 Casado superior 3 17,26 44 Capital
34 Solteiro superior 18,75 34 Capital
35 Casado ensino médio 2 19,4 49 Capital
36 Casado superior 3 23,3 42 Interior

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • Pedido: “Faça a distribuição de frequências (tabular e gráfica) da variável ‘Salário’. Use classes de amplitude igual a 3. Na tabela apresente as frequências absolutas, relativas, percentuais e acumuladas. Escolha um tipo de frequências para construir o gráfico.”
  • Dados relevantes (peguei os valores de salário na tabela do enunciado; são n=36 observações, em número de salários mínimos): \begin{array}{l} 4,\;4,56,\;5,25,\;5,73,\;6,26,\;6,66,\;6,86,\;7,39,\;7,59,\\\\ 7,44,\;8,12,\;8,46,\;8,74,\;8,95,\;9,13,\;9,35,\;9,77,\;9,80,\\\\ 10,53,\;10,76,\;11,06,\;11,59,\;12,\;12,79,\;13,23,\;13,60,\\\\ 13,85,\;14,69,\;14,71,\;15,99,\;16,22,\;16,61,\;17,26,\;18,75,\\\\ 19,40,\;23,30 \end{array}
  • Observações imediatas extraídas dos dados:
    • Menor salário =4.
    • Maior salário =23,30.
    • Total de observações n=36.

Passo 2

Escolher classes com amplitude h=3 (dado). calcular o alcance (amplitude total) e o número de classes necessário.
  • Definição: o alcance ou amplitude total R é a diferença entre máximo e mínimo: R = \text{máximo} - \text{mínimo}.áíSubstituindo: R = 23,30 - 4 = 19,30.
  • Como a amplitude de classe pedida é h=3, um procedimento simples para obter o número de classes k é dividir R por h e arredondar para cima: k = \left\lceil\frac{R}{h}\right\rceil = \left\lceil\frac{19,30}{3}\right\rceil = \left\lceil 6,433\ldots\right\rceil = 7.Ou seja, usaremos 7 classes de amplitude 3, que cobrem um total de 7\times 3=21 unidades, suficiente para alcançar o maior valor.

Passo 3

Definir os intervalos de classe (limites) de forma clara e consistente.
  • Convenção prática usada (muito comum em tabelas de frequência): intervalos fechados à esquerda e abertos à direita, isto é, [a,b) significa a \le x < b. Essa convenção evita ambiguidade em pontos de fronteira.
  • Com h=3 e começando no mínimo 4, as classes serão: [4,7),\;[7,10),\;[10,13),\;[13,16),\;[16,19),\;[19,22),\;[22,25).Essas 7 classes cobrem os dados de 4 até <25, portanto incluem o máximo 23,30.

Passo 4

Contar as frequências absolutas ( f_a) por classe — explicação do método de contagem.
  • Método: para cada observação verificar em qual intervalo [a,b) ela se encaixa (como usamos a\le x < b), e incrementar o contador dessa classe. É só atenção nos valores com casas decimais.
  • Fazendo a contagem (apenas listando as observações por classe):
    • Classe [4,7): contém 4,\;4,56,\;5,25,\;5,73,\;6,26,\;6,66,\;6,86. Total: 7 observações.
    • Classe [7,10): contém 7,39,\;7,59,\;7,44,\;8,12,\;8,46,\;8,74,\;8,95,\;9,13,\;9,35,\;9,77,\;9,80. Total: 11.
    • Classe [10,13): contém 10,53,\;10,76,\;11,06,\;11,59,\;12,\;12,79. Total: 6.
    • Classe [13,16): contém 13,23,\;13,60,\;13,85,\;14,69,\;14,71,\;15,99. Total: 6.
    • Classe [16,19): contém 16,22,\;16,61,\;17,26,\;18,75. Total: 4.
    • Classe [19,22): contém 19,40. Total: 1.
    • Classe [22,25): contém 23,30. Total: 1.
  • Verificação da soma:
    7+11+6+6+4+1+1 = 36 = n,
    portanto a contagem está consistente.

Passo 5

Calcular frequências relativas, percentuais e frequências acumuladas; explicar as fórmulas.
  • Fórmula da frequência relativa:
    f_r = \frac{f_a}{n}.
    Aqui f_a é a frequência absoluta da classe e n=36 é o total de observações.
  • Fórmula do percentual:
    \% = 100\cdot f_r.
  • Frequência absoluta acumulada F_a: soma sucessiva das f_a.
  • Frequência percentual acumulada F_{\%}: soma sucessiva dos percentuais (ou 100\cdot F_r onde F_r é soma sucessiva dos f_r).
  • Cálculos (apresento os valores arredondados de maneira prática: f_r com 4 casas decimais e \% com 2 casas decimais):
    • Para [4,7): f_a=7, f_r=\frac{7}{36}=0,1944,\qquad \%=19,44\%.
    • Para [7,10): f_a=11, f_r=\frac{11}{36}=0,3056,\qquad \%=30,56\%.
    • Para [10,13): f_a=6, f_r=\frac{6}{36}=0,1667,\qquad \%=16,67\%.
    • Para [13,16): f_a=6, f_r=\frac{6}{36}=0,1667,\qquad \%=16,67\%.
    • Para [16,19): f_a=4, f_r=\frac{4}{36}=0,1111,\qquad \%=11,11\%.
    • Para [19,22): f_a=1, f_r=\frac{1}{36}=0,0278,\qquad \%=2,78\%.
    • Para [22,25): f_a=1, f_r=\frac{1}{36}=0,0278,\qquad \%=2,78\%.
  • Frequências acumuladas (absoluta e percentual):
    F_a:\;7,\;18,\;24,\;30,\;34,\;35,\;36,
F_{\%}:\;19,44\%,\;50,00\%,\;66,67\%,\;83,33\%,\;94,44\%,\;97,22\%,\;100,00\%.

Passo 6

Construir a tabela formatada com todas as colunas pedidas (apresento os números com notação e arredondamento consistentes).
Classe \;\mid\; f_a \;\mid\; f_r \;\mid\; \% \;\mid\; F_a \;\mid\; F_{\%}
[4,7) \;\mid\; 7 \;\mid\; 0,1944 \;\mid\; 19,44\% \;\mid\; 7 \;\mid\; 19,44\%
[7,10) \;\mid\; 11 \;\mid\; 0,3056 \;\mid\; 30,56\% \;\mid\; 18 \;\mid\; 50,00\%
[10,13) \;\mid\; 6 \;\mid\; 0,1667 \;\mid\; 16,67\% \;\mid\; 24 \;\mid\; 66,67\%
[13,16) \;\mid\; 6 \;\mid\; 0,1667 \;\mid\; 16,67\% \;\mid\; 30 \;\mid\; 83,33\%
[16,19) \;\mid\; 4 \;\mid\; 0,1111 \;\mid\; 11,11\% \;\mid\; 34 \;\mid\; 94,44\%
[19,22) \;\mid\; 1 \;\mid\; 0,0278 \;\mid\; 2,78\% \;\mid\; 35 \;\mid\; 97,22\%
[22,25) \;\mid\; 1 \;\mid\; 0,0278 \;\mid\; 2,78\% \;\mid\; 36 \;\mid\; 100,00\%
(Nota: pequenas diferenças de centésimos na soma percentual por arredondamento são comuns; a soma exata em frações dá 100{,}00\%.)

Passo 7

Escolha do gráfico e construção do gráfico (prática e interpretação).
  • Escolhi construir um histograma das frequências absolutas (cada barra corresponde a um intervalo de classe e a sua altura é a frequência absoluta f_a). Razão: histogramas são o gráfico padrão para representar distribuição de uma variável contínua por classes; como os dados são salários contínuos agrupados, o histograma mostra bem a concentração de observações.
  • Como não é possível entregar aqui uma figura gráfica vetorial, apresento um histograma em texto (representação simples) onde cada símbolo * representa uma observação (ou seja, cada * = 1 pessoa). No eixo horizontal estão as classes [a,b) e no vertical a contagem f_a. Isso é suficiente para visualizar a forma da distribuição em provas sem recurso gráfico imediato.
Histograma (cada * = 1 pessoa, alturas = f_a):
[4,7) : ******* ( 7)
[7,10): *********** ( 11)
[10,13): ****** ( 6)
[13,16): ****** ( 6)
[16,19): **** ( 4)
[19,22): * ( 1)
[22,25): * ( 1)
  • Interpretação rápida: há concentração nos salários entre [4,10) e também uma boa massa entre [10,16). Poucas observações em classes mais altas ( [19,25)).

Resposta

[4,7) \;\mid\; 7 \;\mid\; 0,1944 \;\mid\; 19,44\% \;\mid\; 7 \;\mid\; 19,44\%
[7,10) \;\mid\; 11 \;\mid\; 0,3056 \;\mid\; 30,56\% \;\mid\; 18 \;\mid\; 50,00\%
[10,13) \;\mid\; 6 \;\mid\; 0,1667 \;\mid\; 16,67\% \;\mid\; 24 \;\mid\; 66,67\%
[13,16) \;\mid\; 6 \;\mid\; 0,1667 \;\mid\; 16,67\% \;\mid\; 30 \;\mid\; 83,33\%
[16,19) \;\mid\; 4 \;\mid\; 0,1111 \;\mid\; 11,11\% \;\mid\; 34 \;\mid\; 94,44\%
[19,22) \;\mid\; 1 \;\mid\; 0,0278 \;\mid\; 2,78\% \;\mid\; 35 \;\mid\; 97,22\%
[22,25) \;\mid\; 1 \;\mid\; 0,0278 \;\mid\; 2,78\% \;\mid\; 36 \;\mid\; 100,00\%
Histograma (cada * = 1 pessoa):
[4,7) : ******* ( 7)
[7,10): *********** ( 11)
[10,13): ****** ( 6)
[13,16): ****** ( 6)
[16,19): **** ( 4)
[19,22): * ( 1)
[22,25): * ( 1)

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