Um trocador de calor bitubular, operando em contracorrente, emprega água como fluido de resfriamento, entrando à 10^{\circ} \mathrm{C} e saindo à 30^{\circ} \mathrm{C}, para resfriar uma corrente líquida quente de biodiesel de 60^{\circ} \mathrm{C} para 35^{\circ} \mathrm{C}. A corrente de biodiesel escoa no interior do casco com uma vazão de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. O diâmetro interno do tubo de cobre é 1,5 in ( 3,81 \mathrm{~cm} ) Sch 80 . Em experimentos independentes, o coeficiente de transferência de calor para o biodiesel no casco foi determinado como igual a 340 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Considerando-se que o tudo é de cobre, as resistências térmicas à condução são desprezíveis. As propriedades médias do biodiesel líquido na temperatura (35 a 60^{\circ} \mathrm{C} ) são:
\rho_{B}=880 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}, \mu_{B}=4,2 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \mathrm{~s}, k_{B}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{~K}, c_{p, B}=2400 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{~K}
a) Qual a carga térmica no trocador de calor e qual a taxa mássica da água requerida para o resfriamento? ( \mathbf{R}: \dot{\boldsymbol{q}}=\mathbf{4 4 ~ k W} ; \dot{\boldsymbol{m}}_{\boldsymbol{f}}=\mathbf{0 , 5 3 ~ k g} / \mathbf{s} )
b) Qual a área superficial requerida do trocador de calor? ( \mathbf{R}: \boldsymbol{A}=\mathbf{5 , 5 3} \mathbf{m}^{\mathbf{2}} )
c) Qual seria a área requerida para um trocador em escoamento co-corrente? (R: \boldsymbol{A}= \mathbf{7 , 7 7 ~} \mathbf{~ m}^{\mathbf{2}} )

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • Vazão volumétrica do biodiesel: \dot{V}_{B}=3\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Temperaturas do biodiesel: entrada T_{B,\text{in}}=60^{\circ}\mathrm{C}, saída T_{B,\text{out}}=35^{\circ}\mathrm{C}.
  • Propriedades médias do biodiesel (na faixa 35 a 60^{\circ}\mathrm{C}):
    • \rho_{B}=880\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • \mu_{B}=4,2\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\,s)},
    • k_{B}=0,15\\ \mathrm{W/(m\,K)},
    • c_{p,B}=2400\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Água de resfriamento: entrada T_{w,\text{in}}=10^{\circ}\mathrm{C}, saída T_{w,\text{out}}=30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diâmetro interno do tubo de cobre: D=1{,}5\\ \text{in}=0{,}0381\\ \mathrm{m} (Sch 80).
  • Coeficiente convectivo do biodiesel no casco: h_{B}=340\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • As resistências por condução no tubo (cobre) são desprezíveis.
  • Constantes a usar para a água (valores típicos a \sim 20^{\circ}\mathrm{C}):
    • \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (aprox.),
    • \mu_{w}=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\,s)},
    • k_{w}=0{,}60\\ \mathrm{W/(m\,K)},
    • c_{p,w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
      (Usarei esses valores quando preciso calcular propriedades da água; são os valores padrão à temperatura média da água.)
O que o enunciado pede:
a) Calcular a carga térmica no trocador ( \dot{q}) e a taxa mássica de água requerida ( \dot{m}_{w}).
b) Calcular a área superficial requerida do trocador para escoamento contracorrente (área de troca térmica A).
c) Calcular a área superficial requerida se o escoamento fosse cocorrente.
Observação: vou assumir que a área A pedida é a área de troca térmica baseada na superfície do tubo (área externa do tubo), e que o coeficiente h_{B} refere-se à superfície do casco sobre essa mesma área. Para o lado da água (interno do tubo) vou calcular o coeficiente h_{w} por correlação de convecção interna (Dittus–Boelter), usando a vazão de água requerida à parte (a), e então obter o coeficiente global U. A condutividade do cobre é elevada, então a resistência da parede é negligenciada como dito no enunciado.

Passo 2

Calcular a vazão mássica do biodiesel (porque vamos precisar para a potência térmica).
Converter a vazão volumétrica para SI:
\dot{V}_{B}=3\\ \mathrm{m^{3}/h}=\frac{3}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0,000833333\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Em notação com vírgula decimal:
\dot{V}_{B}=0,000833333\\ \mathrm{m^{3}/s}.
A vazão mássica do biodiesel é:
\dot{m}_{B}=\rho_{B}\,\dot{V}_{B}=880\cdot 0,000833333=0,733333\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática curta: multiplicar densidade por volume por segundo dá massa por segundo. Aqui foi só conversão de unidades.

Passo 3

Calcular a carga térmica \dot{q} retirada do biodiesel.
A energia retirada do biodiesel por unidade de tempo (potência térmica) é:
\dot{q}=\dot{m}_{B}\,c_{p,B}\,(T_{B,\text{in}}-T_{B,\text{out}}).
Substituindo os valores:
\dot{q}=0,733333\cdot 2400\cdot(60-35)=0,733333\cdot 2400\cdot 25.
Calcular passo a passo:
2400\cdot 25=60000,
0,733333\cdot 60000=44000\\ \mathrm{W}.
Portanto:
\dot{q}=44000\\ \mathrm{W}=44\\ \mathrm{kW}.
Comentário amigável: olha só, 3 m^3/h de biodiesel é bastante massa e uma queda de 25\\ \mathrm{K} dá exatamente 44\\ \mathrm{kW}. Boa verificação mental.

Passo 4

Calcular a vazão mássica da água requerida para absorver essa carga térmica, usando balanço energia (a água leva o calor que o biodiesel perde).
Equação de balanço (assumindo nenhuma outra fonte):
\dot{q}=\dot{m}_{w}\,c_{p,w}\,(T_{w,\text{out}}-T_{w,\text{in}}).
Isolando \dot{m}_{w}:
\dot{m}_{w}=\frac{\dot{q}}{c_{p,w}\,(T_{w,\text{out}}-T_{w,\text{in}})}.
Substituindo números ( \Delta T_{w}=30-10=20\\ \mathrm{K}):
\dot{m}_{w}=\frac{44000}{4186\cdot 20}.
Calcular:
4186\cdot 20=83720,
\dot{m}_{w}=\frac{44000}{83720}=0,5257\\ \mathrm{kg/s}\approx 0,526\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando para dois algarismos significativos como no gabarito:
\dot{m}_{w}\approx0,53\\ \mathrm{kg/s}.
Breve incentivo: ótimo — com isso temos a resposta da parte (a): \dot{q}=44\\ \mathrm{kW} e \dot{m}_{w}\approx0,53\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Estratégia para achar a área A: usar método LMTD (Log Mean Temperature Difference) com coeficiente global de transferência de calor U. A relação básica é:
\dot{q}=U\,A\,\Delta T_{\text{LM}},
onde \Delta T_{\text{LM}} é a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD) adequada para contracorrente ou cocorrente.
Para obter U precisamos combinar as resistências convectivas dos dois fluidos (parede negligenciada):
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_{w}}+\frac{1}{h_{B}}.
Aqui h_{B} já foi dado ( 340\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}). Precisamos estimar h_{w}, o coeficiente convectivo da água no interior do tubo, usando a vazão de água encontrada e o diâmetro D.
Vou calcular h_{w} com a correlação de convecção interna para escoamento turbulento (Dittus–Boelter), apropriada quando \mathrm{Re}\gtrsim 10^{4} e tubos lisos:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4},
h_{w}=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{w}}{D}.
Explicação didática: \mathrm{Nu} (Nusselt) relaciona transferência convectiva com condução; \mathrm{Re} (Reynolds) indica regime laminar/turbulento; \mathrm{Pr} (Prandtl) relaciona difusividades térmicas e viscosas. Dittus–Boelter é simples e costuma ser usada em problemas de prova.

Passo 6

Calcular velocidade média da água no tubo e o número de Reynolds.
Primeiro a vazão volumétrica de água:
\dot{V}_{w}=\frac{\dot{m}_{w}}{\rho_{w}}=\frac{0,5257}{1000}=0,0005257\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Área da seção interna do tubo:
A_{\text{sec}}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}0381)^{2}}{4}=0{,}001141\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Velocidade média:
V=\frac{\dot{V}_{w}}{A_{\text{sec}}}=\frac{0,0005257}{0{,}001141}=0{,}4609\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{w}\,V\,D}{\mu_{w}}=\frac{1000\cdot 0{,}4609\cdot 0{,}0381}{1{,}00\times10^{-3}}.
Calcular:
1000\cdot 0{,}4609\cdot 0{,}0381=17{,}578,
\mathrm{Re}=17{,}578/(1{,}00\times10^{-3})=17{,}578\cdot10^{3}=17578\\ (\text{aprox. }1{,}76\times10^{4}).
Interpretação: \mathrm{Re}\approx1{,}76\times10^{4} indica escoamento turbulento (bom para usar Dittus–Boelter).

Passo 7

Calcular o número de Prandtl \mathrm{Pr} da água e aplicar Dittus–Boelter.
Prandtl da água a 20^{\circ}\mathrm{C} (valor típico):
\mathrm{Pr}=\frac{c_{p,w}\,\mu_{w}}{k_{w}}=\frac{4186\cdot 1{,}00\times10^{-3}}{0{,}60}.
Calcular:
4186\cdot 1{,}00\times10^{-3}=4{,}186,
\mathrm{Pr}=\frac{4{,}186}{0{,}60}=6{,}976\approx6{,}98.
Agora a correlação Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}.
Calcular \mathrm{Re}^{0{,}8}:
\mathrm{Re}^{0{,}8}=(17578)^{0{,}8}\approx 2497\\ (\text{cálculo direto/estimado}).á
Calcular \mathrm{Pr}^{0{,}4}:
\mathrm{Pr}^{0{,}4}=(6{,}976)^{0{,}4}\approx 2{,}177.
Portanto
\mathrm{Nu}=0{,}023\cdot 2497\cdot 2{,}177\approx124{,}96\approx125.

Passo 8

Calcular o coeficiente convectivo interno h_{w}.
Usando
h_{w}=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{w}}{D}=\frac{125\cdot 0{,}60}{0{,}0381}.
Calcular:
125\cdot 0{,}60=75,
h_{w}=\frac{75}{0{,}0381}=1969\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}\\ (\text{aprox. }1970).
Interpretação curta: a água tem um coeficiente convectivo bem maior do que o do biodiesel ( 1970 vs 340), então a resistência do lado do biodiesel é dominante.

Passo 9

Calcular o coeficiente global U (resistências em série, parede desprezível):
\frac{1}{U}=\frac{1}{h_{w}}+\frac{1}{h_{B}}=\frac{1}{1969}+\frac{1}{340}.
Calcular:
\frac{1}{1969}=0{,}000508,\qquad \frac{1}{340}=0{,}002941,
\frac{1}{U}=0{,}000508+0{,}002941=0{,}003449,
U=\frac{1}{0{,}003449}=289{,}8\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}\approx 290\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Comentário: U fica entre h_{w} e h_{B}, mais próximo do menor (aqui h_{B}), como esperado.

Passo 10

Calcular a diferença logarítmica média de temperatura ( \Delta T_{\text{LM}}) para o caso contracorrente.
Para contracorrente:
\Delta T_{1}=T_{B,\text{in}}-T_{w,\text{out}}=60-30=30\\ \mathrm{K},
\Delta T_{2}=T_{B,\text{out}}-T_{w,\text{in}}=35-10=25\\ \mathrm{K}.
Fórmula da LMTD:
\Delta T_{\text{LM}}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}}\right)}.
Substituindo:
\Delta T_{\text{LM}}=\frac{30-25}{\ln(30/25)}=\frac{5}{\ln(1{,}2)}.
Calcular:
\ln(1{,}2)=0{,}182322,\qquad \Delta T_{\text{LM}}=\frac{5}{0{,}182322}=27{,}43\\ \mathrm{K}.

Passo 11

Calcular a área requerida A para o arranjo contracorrente usando \dot{q}=U\,A\,\Delta T_{\text{LM}}.
Isolando A:
A=\frac{\dot{q}}{U\,\Delta T_{\text{LM}}}=\frac{44000}{289{,}8\cdot 27{,}43}.
Calcular denominador:
289{,}8\cdot 27{,}43\approx7949,
A=\frac{44000}{7949}=5{,}536\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando conforme gabarito:
A\approx 5{,}53\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação sucinta: essa é a área de troca necessária para que, com o U calculado e o perfil de temperaturas dado, se transfiram 44\\ \mathrm{kW} em contracorrente.

Passo 12

Calcular a área requerida para escoamento cocorrente (a mesma U, muda somente a LMTD).
Para cocorrente:
\Delta T_{1}^{(co)}=T_{B,\text{in}}-T_{w,\text{in}}=60-10=50\\ \mathrm{K},
\Delta T_{2}^{(co)}=T_{B,\text{out}}-T_{w,\text{out}}=35-30=5\\ \mathrm{K}.
LMTD cocorrente:
\Delta T_{\text{LM}}^{(co)}=\frac{50-5}{\ln(50/5)}=\frac{45}{\ln(10)}.
Calcular:
\ln(10)=2{,}302585,\qquad \Delta T_{\text{LM}}^{(co)}=\frac{45}{2{,}302585}=19{,}54\\ \mathrm{K}.
Área para cocorrente:
A^{(co)}=\frac{\dot{q}}{U\,\Delta T_{\text{LM}}^{(co)}}=\frac{44000}{289{,}8\cdot 19{,}54}.
Calcular denominador:
289{,}8\cdot 19{,}54\approx5661,
A^{(co)}=\frac{44000}{5661}=7{,}77\\ \mathrm{m^{2}}.
Conclusão curta: cocorrente requer área maior porque a diferença média de temperatura é menor.

Passo 13

Resumo numérico final (verificação rápida):
  • \dot{q}=44{,}0\\ \mathrm{kW}.
  • \dot{m}_{w}\approx0{,}5257\\ \mathrm{kg/s} ( \approx0{,}53\\ \mathrm{kg/s}).
  • h_{w}\approx1970\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}, U\approx290\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • A_{\text{contracorrente}}\approx5{,}53\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A_{\text{cocorrente}}\approx7{,}77\\ \mathrm{m^{2}}.
Força final de incentivo: você conseguiu! Seguindo passo a passo (energia, hidráulica interna, correlação convectiva, LMTD) chegamos exatamente aos valores pedidos.

Resposta

a) \dot{q}=44\\ \mathrm{kW};\\ \dot{m}_{w}=0,53\\ \mathrm{kg/s}
b) A_{\text{contracorrente}}=5,53\\ \mathrm{m^{2}}
c) A_{\text{cocorrente}}=7,77\\ \mathrm{m^{2}}

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