Óleo lubrificante leve ( c_{p}=2090 \mathrm{~J} / \.\mathrm{kg} \mathrm{K} ) é resfriado pela transferência de calor com água, em um pequeno trocador de calor tubular. O óleo possui uma vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e suas temperaturas na entrada e na saída do trocador de calor são 375 K e 350 K , respectivamente. Água, a 280 K , está disponível numa vazão de 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} para ser utilizada no processo de resfriamento. Considerando que o coeficiente global de troca térmica é 250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a área de troca térmica para as operações em:
Casco-tubo com quatro passagens pelos tubos.

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica de um trocador casco-tubo com quatro passagens pelos tubos, nas condições dadas. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Óleo lubrificante (fluido quente):
    • c_{p,\text{o}}=2090\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}
    • \dot{m}_{\text{o}}=0,5\\ \mathrm{kg/s}
    • T_{\text{o,in}}=375\\ \mathrm{K}
    • T_{\text{o,out}}=350\\ \mathrm{K}
  • Água (fluido frio):
    • T_{\text{w,in}}=280\\ \mathrm{K}
    • \dot{m}_{\text{w}}=0,201\\ \mathrm{kg/s}
    • (usarei c_{p,\text{w}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}, valor típico da água)
  • Coeficiente global de troca térmica:
    • U=250\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}
O que pedirão calcular:
  • Área de troca A para o trocador casco-tubo com quatro passagens pelos tubos.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a taxa de calor necessária (potência térmica) transferida do óleo para a água. A energia cedida pelo óleo é
Q=\dot{m}_{\text{o}}\,c_{p,\text{o}}\,(T_{\text{o,in}}-T_{\text{o,out}}).
Explicando: Q é a potência térmica (em W), \dot{m} é vazão mássica (kg/s), c_p é calor específico (J/kg·K) e a diferença de temperaturas dá a variação de energia por unidade de massa. Calculando:
Q=0{,}5\cdot 2090\cdot(375-350)=0{,}5\cdot 2090\cdot 25=26125\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora calculo as capacidades térmicas (taxas de capacidade) de cada fluxo:
C_{\text{o}}=\dot{m}_{\text{o}}\,c_{p,\text{o}}=0{,}5\cdot2090=1045\\ \mathrm{W/K},
C_{\text{w}}=\dot{m}_{\text{w}}\,c_{p,\text{w}}=0{,}201\cdot4186=841{,}386\\ \mathrm{W/K}.
Explicando: C=\dot{m}c_p é a taxa com que o fluido pode absorver/ceder calor por grau de temperatura; o menor destes é importante para a eficácia do trocador.
Defino:
C_{\min}=841{,}386\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=1045\\ \mathrm{W/K},
e a razão de capacidades
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{841{,}386}{1045}\approx 0{,}805.

Passo 4

Verifico a temperatura de saída da água pelo balanço de energia (para checar sinais e usar no LMTD):
\Delta T_{\text{w}}=\frac{Q}{C_{\text{w}}}=\frac{26125}{841{,}386}\approx 31{,}044\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{\text{w,out}}=T_{\text{w,in}}+\Delta T_{\text{w}}=280+31{,}044=311{,}044\\ \mathrm{K}.
Observação: isso faz sentido fisicamente: a água aquece de 280 K para 311{,}044 K com a potência calculada.

Passo 5

Cálculo da diferença de temperatura média logarítmica (LMTD) assumindo o arranjo contracorrente “virtual” para definir as temperaturas de terminação:
Defino as duas diferenças de temperatura nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{\text{o,in}}-T_{\text{w,out}}=375-311{,}044=63{,}956\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{\text{o,out}}-T_{\text{w,in}}=350-280=70\\ \mathrm{K}.
A fórmula da LMTD é
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Aplicando:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{70-63{,}956}{\ln\!\left(\dfrac{70}{63{,}956}\right)}\approx 66{,}89\\ \mathrm{K}.
Explicando: a LMTD é a média logarítmica apropriada para diferenças de temperatura que mudam exponencialmente ao longo do trocador; serve de “força” térmica média para o cálculo com Q=U A F \Delta T_{\text{lm}}.

Passo 6

Como o trocador é casco-tubo com múltiplas passagens pelos tubos (quatro passagens), a LMTD calculada para o caso puro contracorrente deve ser corrigida por um fator de correção F que leva em conta a configuração (1 passagem no casco × 4 passagens nos tubos). Esse fator F depende de dois parâmetros adimensionais:
  • R, razão das quedas de temperatura: R=\frac{T_{\text{o,in}}-T_{\text{o,out}}}{T_{\text{w,out}}-T_{\text{w,in}}}=\frac{25}{31{,}044}\approx 0{,}805.
  • P, razão adimensional de temperatura: P=\frac{T_{\text{w,out}}-T_{\text{w,in}}}{T_{\text{o,in}}-T_{\text{w,in}}}=\frac{31{,}044}{375-280}=\frac{31{,}044}{95}\approx 0{,}3268.
Existem tabelas/gráficos (Kern, Incropera e outros) que dão F em função de R e P para o caso de 1-shell-pass com múltiplos tube-passes. Uma forma analítica usada com frequência (e que é a expressão tabulada para o caso 1-shell-pass/ N-tube-pass) é:
F=\frac{\sqrt{R^{2}+1}}{R-1}\,\ln\!\left(\frac{1-P}{1-P\,R}\right).
Breve explicação: essa expressão resulta da solução analítica da distribuição de temperaturas para a configuração considerada (é a mesma relação usada para obter as curvas de fator de correção em referências). Aplicando nossos números:
\sqrt{R^{2}+1}=\sqrt{0{,}805^{2}+1}\approx 1{,}284,
R-1\approx -0{,}195,
1-P\approx 0{,}6732,\qquad 1-P\,R\approx 1-0{,}3268\cdot 0{,}805\approx 0{,}7370,
\ln\!\left(\frac{1-P}{1-P\,R}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}6732}{0{,}7370}\right)\approx -0{,}0907.
Logo
F=\frac{1{,}284}{-0{,}195}\cdot(-0{,}0907)\approx 0{,}60\\ (\text{aprox. }0{,}598).
Interpretação rápida: F<1 porque a configuração de múltiplas passagens reduz a efetividade da LMTD pura contracorrente; portanto deve-se aumentar a área em relação ao valor obtido supondo F=1.

Passo 7

Com Q, U, \Delta T_{\text{lm}} e F determinados, uso a equação básica de projeto:
Q=U\,A\,F\,\Delta T_{\text{lm}}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{Q}{U\,F\,\Delta T_{\text{lm}}}.
Substituindo os valores numéricos:
A=\frac{26125}{250\cdot 0{,}598\cdot 66{,}89}\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo explicado: o denominador é a taxa de transferência por metro quadrado (produto de U, do fator geométrico F e da diferença média de temperatura); dividir Q por essa taxa dá a área necessária.

Passo 8

Checagem rápida de consistência:
  • Se tivéssemos (erroneamente) tomado F=1 obteríamos A\approx 1{,}56\\ \mathrm{m^{2}}. Ao considerar a configuração real com quatro passagens, o fator F\approx 0{,}60 aumenta a área necessária até cerca de 2{,}62\\ \mathrm{m^{2}}. Isso faz sentido físico: geometria menos favorável → área maior exigida.
  • As aproximações usadas: c_{p,\text{w}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\\ K)} (valor padrão) e a fórmula analítica para F (usada em livros técnicos). Pequenas variações nesses números mudariam levemente o resultado final.

Resposta

A\approx 2{,}62\\ \mathrm{m^{2}}

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