Em um trocador de calor de tubo duplo, o fluido frio é aquecido de 30^{\circ} \mathrm{C} até 54^{\circ} \mathrm{C} enquanto um fluido de aquecimento entra no trocador a 60^{\circ} \mathrm{C}. O trocador tem uma área de troca térmica de 45 \mathrm{~m}^{2} e as taxas de capacidade térmica dos fluidos frio e quente são 3,0 e 6,0 \mathrm{~kW} / \mathrm{K}, respectivamente.
a) Qual é a configuração de escoamento do trocador? Isto é, ele está operando em configuração concorrente ou contracorrente, ou você não pode responder com base nas informações fornecidas? (justifiquem a resposta);
b) Determine o coeficiente global de transferência de calor utilizando o método da MLDT;
c) Qual é a efetividade do trocador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de entrada do fluido frio: T_{c,\mathrm{in}}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída do fluido frio: T_{c,\mathrm{out}}=54^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de entrada do fluido quente: T_{h,\mathrm{in}}=60^\circ\mathrm{C}.
    • Área de troca térmica: A=45\\ \mathrm{m^2}.
    • Taxa de capacidade térmica (produto débito mássico \times calor específico) do fluido frio: C_c=3{,}0\\ \mathrm{kW/K}.
    • Taxa de capacidade térmica do fluido quente: C_h=6{,}0\\ \mathrm{kW/K}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar se o trocador opera em escoamento concorrente (paralelo) ou contracorrente, justificando.
    (b) Determinar o coeficiente global de transferência de calor U usando o método da MLDT (Média Logarítmica de Diferença de Temperatura, LMTD).
    (c) Calcular a efetividade \varepsilon do trocador.

Passo 2

Primeira ideia-chave (conceito usado): balanço de energia em regime estacionário num trocador sem troca com o ambiente implica que a potência térmica trocada Q é a mesma medida por cada corrente. Para a corrente fria:
Q = C_c\,(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}).
Aqui C_c é a taxa de capacidade térmica do fluido frio (unidade \mathrm{kW/K}), T_{c,\mathrm{in}} e T_{c,\mathrm{out}} são temperaturas de entrada e saída do frio (em ^\circ\mathrm{C} ou K; diferenças de temperatura usam as mesmas unidades).
Calculemos Q a partir dos dados do fluido frio:
Q = 3{,}0\\ \mathrm{kW/K}\times(54-30)\\ ^\circ\mathrm{C} = 3{,}0\times 24\\ \mathrm{kW} = 72\\ \mathrm{kW}.
Comentário didático: isso significa que o calor que entrou no fluido frio foi 72\\ \mathrm{kW}. Ótimo — agora podemos usar essa Q para deduzir a temperatura de saída do fluido quente.

Passo 3

Usando o balanço de energia para o fluido quente:
Q = C_h\,(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}).
Aqui C_h é a taxa de capacidade térmica do fluido quente e T_{h,\mathrm{out}} é a incógnita.
Isolando T_{h,\mathrm{out}}:
T_{h,\mathrm{out}} = T_{h,\mathrm{in}} - \frac{Q}{C_h}.
Substituindo números:
T_{h,\mathrm{out}} = 60^\circ\mathrm{C} - \frac{72\\ \mathrm{kW}}{6{,}0\\ \mathrm{kW/K}} = 60^\circ\mathrm{C} - 12^\circ\mathrm{C} = 48^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: com isso sabemos todas as quatro temperaturas: T_{h,\mathrm{in}}=60^\circ\mathrm{C}, T_{h,\mathrm{out}}=48^\circ\mathrm{C}, T_{c,\mathrm{in}}=30^\circ\mathrm{C}, T_{c,\mathrm{out}}=54^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Decisão sobre a configuração (concorrente ou contracorrente).
  • Observação prática sobre comportamento térmico:
    • Em trocador concorrente (paralelo), as duas correntes entram pelo mesmo lado; a temperatura de saída do fluido frio nunca ultrapassa a temperatura de saída do fluido quente — em geral T_{c,\mathrm{out}} < T_{h,\mathrm{out}}.
    • Em trocador contracorrente, o fluido frio pode sair mais quente que a saída do fluido quente (mas jamais pode ultrapassar a temperatura de entrada do fluido quente). Ou seja, é possível ter T_{c,\mathrm{out}} > T_{h,\mathrm{out}} em contracorrente.
No nosso caso calculamos:
T_{c,\mathrm{out}} = 54^\circ\mathrm{C},\qquad T_{h,\mathrm{out}} = 48^\circ\mathrm{C}.
Como T_{c,\mathrm{out}} > T_{h,\mathrm{out}}, isso só é possível fisicamente se o trocador for contracorrente. Logo a configuração é contracorrente.
Justificativa curta e direta: a saída do fluido frio fica mais quente que a saída do fluido quente, característica de contracorrente; portanto o trocador opera em contracorrente.

Passo 5

Explicação do método da MLDT (LMTD) — teoria necessária para calcular U.
  • Ideia: a taxa de calor média num trocador com área A e coeficiente global U é dada por:
Q = U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}},
onde \Delta T_{\mathrm{lm}} é a média logarítmica das diferenças de temperatura nas duas extremidades do trocador.
  • Para trocador contracorrente, as diferenças de temperatura nas duas extremidades são:
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{out}}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}}.
Essas são as diferenças “em cada ponta” (ambas positivas em contracorrente no nosso caso).
  • A MLDT (LMTD) é definida por
\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Comentário didático: a LMTD é uma média adequada porque a diferença de temperatura ao longo do trocador varia exponencialmente em um problema linear; a média aritmética não representa corretamente a troca térmica, enquanto a média logarítmica corrige isso.

Passo 6

Cálculo das diferenças de temperatura nas duas extremidades (para contracorrente), usando as quatro temperaturas conhecidas.
Calculemos \Delta T_1 e \Delta T_2:
\Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{out}} = 60^\circ\mathrm{C} - 54^\circ\mathrm{C} = 6^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}} = 48^\circ\mathrm{C} - 30^\circ\mathrm{C} = 18^\circ\mathrm{C}.
Agora a MLDT:
\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{18 - 6}{\ln\!\left(\dfrac{18}{6}\right)} = \frac{12}{\ln 3}.
Numericamente, usando \ln 3\approx 1{,}098612289:
\Delta T_{\mathrm{lm}} \approx \frac{12}{1{,}098612289} \approx 10{,}926\\ ^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a unidade da MLDT é ^\circ\mathrm{C} (ou K), diferenças de temperatura são equivalentes em ambas as escalas.

Passo 7

Cálculo do coeficiente global U a partir da relação Q = U A \Delta T_{\mathrm{lm}}.
Isolando U:
U = \frac{Q}{A\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
Usando Q=72\\ \mathrm{kW}=72\,000\\ \mathrm{W}, A=45\\ \mathrm{m^2}, \Delta T_{\mathrm{lm}}\approx 10{,}926^\circ\mathrm{C}:
U = \frac{72{,}000\\ \mathrm{W}}{45\\ \mathrm{m^2}\times 10{,}926\\ \mathrm{K}}.
Calculemos numericamente:
45\times 10{,}926 \approx 491{,}67,
U \approx \frac{72{,}000}{491{,}67}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} \approx 146{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Arredondando com precisão razoável:
U \approx 1{,}46\times 10^{2}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Comentário didático: U representa a capacidade global do conjunto (condução através das paredes + resistências de convecção em cada lado) de transferir calor por unidade de área e por unidade de diferença de temperatura média. Valores típicos variam muito conforme fluidos e configurações; aqui obtivemos cerca de 146\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 8

Definição e cálculo da efetividade \varepsilon.
  • Conceito: a efetividade \varepsilon é a razão entre a taxa de calor real trocada Q e a máxima taxa de calor possível Q_{\max} se a corrente com menor capacidade térmica ( C_{\min}) experimentasse a maior variação de temperatura possível (ou seja, se ela saísse na temperatura de entrada da outra corrente).
  • Matematicamente:
\varepsilon = \frac{Q}{Q_{\max}}, \qquad Q_{\max} = C_{\min}\,(T_{h,\mathrm{in}}-T_{c,\mathrm{in}}),
onde C_{\min}=\min(C_c,C_h).
No problema:
C_{\min} = C_c = 3{,}0\\ \mathrm{kW/K}.
Logo
Q_{\max} = 3{,}0\\ \mathrm{kW/K}\times(60-30)\\ ^\circ\mathrm{C} = 3{,}0\times 30\\ \mathrm{kW} = 90\\ \mathrm{kW}.
Agora a efetividade:
\varepsilon = \frac{Q}{Q_{\max}} = \frac{72\\ \mathrm{kW}}{90\\ \mathrm{kW}} = 0{,}8.
Comentário didático: \varepsilon=0{,}8 significa que o trocador atingiu 80\% do máximo teoricamente possível dado as capacidades térmicas e temperaturas de entrada.

Resposta

(a) Contracorrente (contrafluxo).
(b) U \approx 146{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(c) \varepsilon = 0{,}80.

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