Um fluido entra a 20^{\circ} \mathrm{C} em um trocador de calor caso e tubos com dois passes na carcaça e quatro passes nos tubos e sofre um aquecimento de 30^{\circ} \mathrm{C} ao trocar calor com água que entra no lado do casco a 80^{\circ} \mathrm{C} e sai a 40^{\circ} \mathrm{C}. O trocador consiste em 160 tubos cada um com diâmetro de 2 cm e comprimento de 1,5 \mathrm{~m}. O coeficiente global de transferência de calor é 976 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 .{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calculem a taxa de transferência de calor; (13 pts)
b) Após um certo período operando, a temperatura de saída do fluido frio é reduzida em 5^{\circ} \mathrm{C} devido à deposição de impurezas nos tubos. Determinem qual será o efeito sobre a temperatura de saída da água e estimem o valor do fator de incrustação. (12 pts) (Adotem: cpf =2,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e cpq =4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Temperatura do fluido frio na entrada: T_{c,in}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Aquecimento do fluido frio: \Delta T_c=30^\circ\mathrm{C}. Logo a temperatura de saída fria inicial é \,T_{c,out}=T_{c,in}+\Delta T_c=50^\circ\mathrm{C}.
  • Água (lado casco) entra: T_{h,in}=80^\circ\mathrm{C} e sai inicialmente: T_{h,out}=40^\circ\mathrm{C}.
  • Número de tubos: N=160.
  • Diâmetro interno dos tubos: d=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento dos tubos: L=1,5\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente global de transferência de calor (limpo): U=976\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!.\!^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calores específicos (dados): c_{p,f}=2{,}0\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\!.\!\mathrm{K}=2000\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\!.\!\mathrm{K} (fluido frio) e c_{p,w}=4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\!.\!\mathrm{K}=4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\!.\!\mathrm{K} (água).
  • Após certo tempo, a nova temperatura de saída do fluido frio cai em 5^\circ\mathrm{C}: nova T_{c,out,2}=45^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q} (inicial, com trocador limpo).
(b) Se a saída do fluido frio diminui 5^\circ\mathrm{C}, determinar o efeito sobre a temperatura de saída da água ( T_{h,out}) e estimar o fator de incrustação (resistência de incrustação R_f, em \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}).
Observação importante para o método (a usar nos passos seguintes):
  • Para trocadores de calor do tipo casco-e-tubos com múltiplos passes usa-se a fórmula de LMTD corrigida:
\dot{Q}=U \, A \, F \, \Delta T_{lm},
onde A é a área de troca, F é o fator de correção para o arranjo (obtido em gráficos/ tabelas) e \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica (LMTD). Se o enunciado não fornece F e o gráfico não está disponível, usa-se um F aproximado a partir da prática. Vou declarar explicitamente a escolha de F quando precisar dela.

Passo 2

Calcular a área de troca total A dos tubos (área externa dos tubos, supondo parede delgada e diâmetro informado):
Explicação rápida: a área lateral de um tubo é \pi d L. Para N tubos, A=N\pi d L.
Cálculo:
A = N \pi d L = 160\cdot\pi\cdot 0,02\cdot 1,5.
Executando a conta:
A = 160\cdot\pi\cdot 0,03 \approx 15{,}0796\\ \mathrm{m}^2.
(Arredondei só para exibição; vou manter precisão suficiente nas contas seguintes.)

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura logarítmica (LMTD) para as temperaturas iniciais.
Explicando a ideia do LMTD:
  • Para um trocador com temperaturas finais e iniciais conhecidas, a LMTD mede a diferença média “logarítmica” de temperatura entre os fluxos quente e frio ao longo do trocador. A fórmula é:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura nas duas extremidades (tipicamente \Delta T_1=T_{h,in}-T_{c,out} e \Delta T_2=T_{h,out}-T_{c,in}).
Calculemos \Delta T_1 e \Delta T_2:
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out} = 80^\circ\mathrm{C}-50^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in} = 40^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{lm}=\frac{30-20}{\ln(30/20)}=\frac{10}{\ln(1{,}5)}\approx 24{,}66^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Tratar o fator de correção F para o arranjo (2 passes na carcaça, 4 passes nos tubos).
Explicação didática:
  • Em trocadores casco-e-tubos com múltiplos passes o perfil de temperatura não é exatamente contracorrente ideal; usa-se um fator de correção F\le 1 obtido em gráficos (Kays & London, TEMA) em função de parâmetros adimensionais. Como o enunciado não fornece esse gráfico, é prática comum aproximar F para um arranjo 2-shell pass / 4-tube pass por um valor alto (próximo a contracorrente), tipicamente F\approx 0{,}9 a 0{,}98 dependendo de R e P.
  • Aqui adotarei um valor representativo e conservador: \displaystyle F\approx 0{,}95. Vou explicitar isso porque sem o gráfico não há como obter F exato. O cálculo do efeito de incrustação (parte b) que envolve razões de temperaturas ficará, felizmente, independente de F (veremos isso adiante).

Passo 5

Calcular a taxa de calor \dot{Q} usando \dot{Q}=U A F \Delta T_{lm}.
Substituindo:
U=976\\ \mathrm{W/m^2K},\quad A\approx 15{,}0796\\ \mathrm{m}^2,\quad F=0{,}95,\quad \Delta T_{lm}\approx 24{,}66^\circ\mathrm{C}.
Cálculo:
\dot{Q}=976\cdot 15{,}0796 \cdot 0{,}95 \cdot 24{,}66 \\ \mathrm{W}.
Executando a multiplicação (passos intermediários explicados):
UA = 976\cdot 15{,}0796 \approx 14{,}732{,}8\\ \mathrm{W/K},
UA\cdot F \approx 14{,}732{,}8\cdot 0{,}95 \approx 13{,}996{,}2\\ \mathrm{W/K},
\dot{Q} \approx 13{,}996{,}2 \cdot 24{,}66 \approx 345{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Resultado:
\dot{Q}\approx 3{,}45\times 10^{5}\\ \mathrm{W} \quad(\text{aprox. }345\\ \mathrm{kW}).

Passo 6

Determinar as vazões mássicas dos fluidos (úteis na parte b) a partir do balanço de energia.
Explicação:
  • O balanço de energia estacionário (sem acumulação) dá:
\dot{Q}= \dot{m}_c c_{p,f} (T_{c,out}-T_{c,in}) = \dot{m}_h c_{p,w} (T_{h,in}-T_{h,out}).
  • Como já temos \dot{Q}, podemos calcular \dot{m}_c e \dot{m}_h.
Cálculos:
\dot{m}_c = \frac{\dot{Q}}{c_{p,f} (T_{c,out}-T_{c,in})} = \frac{3{,}45\times 10^{5}}{2000\cdot 30} \approx 5{,}75\\ \mathrm{kg/s}.
\dot{m}_h = \frac{\dot{Q}}{c_{p,w} (T_{h,in}-T_{h,out})} = \frac{3{,}45\times 10^{5}}{4180\cdot 40} \approx 2{,}06\\ \mathrm{kg/s}.
(São números plausíveis e coerentes com o balanço energético.)

Passo 7

Agora a parte (b): nova condição com T_{c,out,2}=45^\circ\mathrm{C}. Determinar a nova taxa de calor \dot{Q}_2 entregue ao fluido frio e a nova saída da água.
Explicação:
  • Mantemos as mesmas vazões mássicas \dot{m}_c e \dot{m}_h (a obstrução incrusta superficialmente, não altera instantaneamente vazões fornecidas, e o enunciado pede o efeito sobre a temperatura). Assim:
\dot{Q}_2 = \dot{m}_c c_{p,f} (T_{c,out,2}-T_{c,in}).
Cálculo:
\dot{Q}_2 = 5{,}75\cdot 2000\cdot 25 \approx 2{,}875\times 10^{5}\\ \mathrm{W}.
Observação rápida (proporção): \dot{Q}_2=\dot{Q}\cdot \dfrac{25}{30} \approx 0{,}8333\dot{Q}.
Agora a nova temperatura de saída da água T_{h,out,2} vem do balanço:
T_{h,out,2} = T_{h,in} - \frac{\dot{Q}_2}{\dot{m}_h c_{p,w}}.
Substituindo:
T_{h,out,2} = 80^\circ\mathrm{C} - \frac{2{,}875\times 10^{5}}{2{,}06\cdot 4180}.
Cálculo do termo:
\dot{m}_h c_{p,w} = 2{,}06\cdot 4180 \approx 8627{,}5\\ \mathrm{W/K},
\frac{\dot{Q}_2}{\dot{m}_h c_{p,w}} \approx \frac{287{,}5\times 10^{3}}{8627{,}5}\approx 33{,}333^\circ\mathrm{C}.
Logo:
T_{h,out,2} \approx 80^\circ\mathrm{C} - 33{,}333^\circ\mathrm{C}=46{,}667^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a saída da água sobe de 40^\circ\mathrm{C} para aproximadamente 46{,}67^\circ\mathrm{C}; ou seja, a água não é resfriada tanto porque a transferência de calor diminuiu.

Passo 8

Estimar o fator de incrustação R_f (resistência térmica de incrustação superficial) correspondente à queda de desempenho.
Explicação conceitual:
  • A incrustação adiciona resistência térmica em série com as resistências já presentes, reduzindo o coeficiente global efetivo. O modelo simples é:
\frac{1}{U_{new}} = \frac{1}{U_{old}} + R_f,
onde R_f tem unidade \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}. Note que U_{old} é o valor limpo fornecido ( 976\\ \mathrm{W/m^2K}). Queremos R_f tal que, com a nova resistência, a transferência de calor resulte em \dot{Q}_2.
Cálculo prático (maneira elegante que evita reavaliar F):
  • Escrevendo \dot{Q}_1 = U_{old} A F \Delta T_{lm,1} e \dot{Q}_2 = U_{new} A F \Delta T_{lm,2}. Dividindo:
\frac{U_{new}}{U_{old}} = \frac{\dot{Q}_2}{\dot{Q}_1}\cdot\frac{\Delta T_{lm,1}}{\Delta T_{lm,2}}.
Observação útil: o fator F e a área A cancelam nessa razão, então não precisamos do valor exato de F para estimar U_{new} e, consequentemente, R_f.
Já temos \dfrac{\dot{Q}_2}{\dot{Q}_1}=\dfrac{25}{30}=0{,}833333.
  • Já calculámos \Delta T_{lm,1}\approx 24{,}66^\circ\mathrm{C}.
Precisamos da nova LMTD \Delta T_{lm,2} com as temperaturas atualizadas:
\Delta T_{1,2}=T_{h,in}-T_{c,out,2}=80-45=35^\circ\mathrm{C},
\Delta T_{2,2}=T_{h,out,2}-T_{c,in}=46{,}667-20=26{,}667^\circ\mathrm{C},
\Delta T_{lm,2}=\frac{35-26{,}667}{\ln(35/26{,}667)}\approx \frac{8{,}333}{\ln(1{,}3125)}\approx 30{,}64^\circ\mathrm{C}.
Agora calculemos U_{new}:
U_{new} = U_{old}\cdot 0{,}833333\cdot \frac{\Delta T_{lm,1}}{\Delta T_{lm,2}} =976\cdot 0{,}833333\cdot\frac{24{,}66}{30{,}64}.
Cálculo numérico:
\frac{24{,}66}{30{,}64}\approx 0{,}8046,
U_{new}\approx 976\cdot 0{,}833333\cdot 0{,}8046 \approx 654{,}4\\ \mathrm{W/m^2K}.
Finalmente, a resistência de incrustação:
R_f = \frac{1}{U_{new}} - \frac{1}{U_{old}}.
Cálculo:
R_f \approx \frac{1}{654{,}4} - \frac{1}{976} \approx 0{,}001528 - 0{,}0010256 \approx 0{,}000503\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Ou seja, aproximadamente 5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 9

Pequena interpretação final e checagem dos sinais (motivação para a prova):
  • A queda de 5^\circ\mathrm{C} na saída do fluido frio corresponde a uma queda de calor de \approx 16{,}7\% e à redução do coeficiente global de cerca de 976 para \approx 654\\ \mathrm{W/m^2K}.
  • A saída da água aumenta (ela é menos resfriada) de 40^\circ\mathrm{C} para \approx 46{,}67^\circ\mathrm{C}.
  • O valor de R_f obtido é um número típico de incrustação moderada (ordem de 10^{-4} a 10^{-3} \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W} costuma aparecer em problemas práticos).
Força (motivação): ficou muita conta, mas o raciocínio é sempre o mesmo na prova — calcular área, LMTD, usar \dot{Q}=UAF\Delta T_{lm}, tirar vazões por balanço e, em caso de incrustação, usar a relação entre 1/U e R_f. Confia: com esse passo a passo tu faz rapidinho.

Resposta

(a) \dot{Q}\approx 3{,}45\times 10^{5}\\ \mathrm{W}
(b) T_{h,out,2}\approx 46{,}67^\circ\mathrm{C}
R_f\approx 5{,}03\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}

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