Um trocador de calor de tubos concêntricos, com escoamento em paralelo, é projetado para resfriar o óleo lubrificante de um motor de uma turbina de 150 para 60^{\circ} \mathrm{C}, utilizando água, que é alimentada no tubo interno a 25^{\circ} \mathrm{C} e retirada a 50^{\circ} \mathrm{C}. O tubo interno, com parede delgada, possui um diâmetro interno de 10 mm , diâmetro externo de 20 mm e o coeficiente global de transferência de calor é igual a 700 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). A condição de projeto exige uma taxa de transferência de calor total de 4.005,05 \mathrm{~W}.
a) qual é a média Log das diferenças de temperaturas? (3 pts) (resposta com números e unidade de temperatura)
b) qual é o comprimento do trocador de calor? ( 5 pts ) (resposta com números e unidade de comprimento)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. a) A média logarítmica das diferenças de temperatura (LMTD) para o escoamento em paralelo.
  2. b) O comprimento do trocador de calor necessário para atingir a transferência de calor especificada.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do óleo (quente): } T_{h,\text{in}}=150^\circ\mathrm{C},\quad T_{h,\text{out}}=60^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura da água (fria): } T_{c,\text{in}}=25^\circ\mathrm{C},\quad T_{c,\text{out}}=50^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Taxa de transferência de calor: } Q=4\,005{,}05\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor: } U=700\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},\\\ &\text{Diâmetro externo do tubo interno (superfície de troca): } D_o=20\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Observação do enunciado: parede delgada (usa-se a área baseada em }D_o\text{).} \end{aligned}óáêêâíçãá
Nada mais foi pedido; a resolução começa agora.

Passo 2

Vamos calcular a LMTD. Primeiro lembro a fórmula da LMTD para fluxo paralelo:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Aqui é crucial definir corretamente \Delta T_1 e \Delta T_2 para fluxo paralelo:
  • \Delta T_1 é a diferença de temperatura na entrada onde os dois fluidos entram (diferença quente-in / frio-in).
  • \Delta T_2 é a diferença na saída onde os dois fluidos saem (diferença quente-out / frio-out).
Aplicando aos números:
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{in}} = 150 - 25 = 125\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{out}} = 60 - 50 = 10\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Agora calculamos a LMTD com os valores acima. Primeiro calculemos o denominador do logaritmo:
\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}=\frac{125}{10}=12{,}5.
O logaritmo natural é \ln(12{,}5). Agora a LMTD:
\Delta T_{\text{lm}}=\frac{125-10}{\ln(12{,}5)}=\frac{115}{\ln(12{,}5)}.
Calculando numericamente (mostrando passos):
\ln(12{,}5)\approx 2{,}52572864,
\Delta T_{\text{lm}}\approx \frac{115}{2{,}52572864}\approx 45{,}55\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Arredondei para duas casas decimais; mantemos a unidade em graus Celsius.)

Passo 4

Agora vamos ao comprimento L. A equação de balanço de calor para um trocador de calor com coeficiente global fixo é
Q = U\,A\,\Delta T_{\text{lm}},
onde:
  • Q é a taxa de calor (em \mathrm{W}),
  • U é o coeficiente global ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}),
  • A é a área de troca térmica ( \mathrm{m^2}),
  • \Delta T_{\text{lm}} é a LMTD (em ^\circ\mathrm{C} ou K; diferença de temperatura em °C e K têm o mesmo valor numérico).
Para um tubo cilíndrico a área lateral (superfície de troca) é
A = \pi D_o L,
onde D_o é o diâmetro externo do tubo interno (a superfície em contato com o fluido anular). Convertendo o diâmetro para metros:
D_o = 20\\ \mathrm{mm} = 0{,}020\\ \mathrm{m}.
Rearranjando para L:
L = \frac{Q}{U\,\pi D_o\,\Delta T_{\text{lm}}}.

Passo 5

Substituímos todos os valores numéricos:
Q=4\,005{,}05\\ \mathrm{W},\quad U=700\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},\quad D_o=0{,}020\\ \mathrm{m},\quad \Delta T_{\text{lm}}=45{,}55\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule o denominador passo a passo:
\pi D_o = \pi\times 0{,}020 \approx 0{,}06283185307\\ \mathrm{m},
U\,\pi D_o \approx 700\times 0{,}06283185307 \approx 43{,}98229715\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}},
U\,\pi D_o\,\Delta T_{\text{lm}} \approx 43{,}98229715\times 45{,}55 \approx 2\,003{,}173\\ \mathrm{W\,m^{-1}}.

Passo 6

Finalmente, o comprimento:
L=\frac{4\,005{,}05}{2\,003{,}173}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}9994\\ \mathrm{m}.
Arredondando para dois algarismos significativos práticos para projeto, temos L\approx 2{,}00\\ \mathrm{m}.

Resposta

\Delta T_{\text{lm}} \approx 45{,}55\\ ^\circ\mathrm{C}
L \approx 2{,}00\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados