O tubo A B de 500 mm pode deslizar ao longo da barra horizontal. As extremidades A e B do tubo são conectadas em cordas elásticas que são fixadas no ponto C. Para a posição correspondente a x=275 \mathrm{~mm}, determine o ângulo formado pelas duas cordas (a) usando a Eq. (3.32) e (b) aplicando a lei dos cossenos para o triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado (do jeito que chegou) nos dá:
  • O tubo AB tem comprimento 500\\ \mathrm{mm}.
  • O tubo pode deslizar ao longo de uma barra horizontal.
  • As extremidades A e B estão ligadas por cordas elásticas ao ponto fixo C.
  • Pede-se o ângulo formado pelas duas cordas para a posição correspondente a x=275\\ \mathrm{mm}:
    • (a) usando a Eq. (3.32) (isto é, usando a relação vetorial para o cosseno do ângulo entre duas forças/vetores);
    • (b) usando a lei dos cossenos no triângulo ABC.
Informações relevantes listadas:
  • Comprimento de AB: \;AB=500\\ \mathrm{mm}.
  • Posição indicada pelo enunciado: \;x=275\\ \mathrm{mm}.
Informação que NÃO está no enunciado (e é necessária para calcular numericamente o ângulo):
  • A posição absoluta de A e B em relação a C. Em particular, falta a distância perpendicular (a “altura”) entre o ponto C e a barra onde está AB. Vou chamar essa distância de h (em mm). Sem saber h (ou as coordenadas completas de A, B e C), não é possível obter um valor numérico único para o ângulo.
    Portanto: posso explicar passo a passo os dois métodos e deduzir a fórmula que dá o ângulo em função de x e de h, mas NÃO posso fornecer um número final sem a informação de h.

Passo 2

Definição do sistema de coordenadas e posições (variáveis) — para deixar tudo explícito.
  • Coloco C na origem do sistema de coordenadas: \;C=(0,0).
  • Assumo que a barra onde desliza AB é horizontal e está numa distância vertical (para baixo) igual a \;h em relação a C. Ou seja, a reta que contém A e B tem coordenada y=-h.
  • Defino x como a coordenada x do centro de AB medida a partir de C (esta é a interpretação usual: “a posição correspondente a x”). Assim o centro de AB é (x,-h).
  • Então as coordenadas de A e B (sabendo que AB=500\\ \mathrm{mm}) são: A=\bigl(x-\tfrac{500}{2},\,-h\bigr)=\bigl(x-250,\,-h\bigr),
B=\bigl(x+\tfrac{500}{2},\,-h\bigr)=\bigl(x+250,\,-h\bigr).
  • Para o caso pedido, x=275\\ \mathrm{mm}. Assim: A=(25,\,-h),\qquad B=(525,\,-h).
Obs.: Se a sua convenção para x for diferente, basta me dizer; aqui adotei a convenção mais comum ( x = abscissa do centro de AB a partir de C ).

Passo 3

Método (a) — usar a Eq. (3.32) (interpretação: fórmula vetorial para o cosseno do ângulo entre dois vetores).
  • Lembrete matemático importante (a “mini-aula”): o cosseno do ângulo \gamma entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dado por \cos\gamma=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert},onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e \lVert\vec{u}\rVert é o comprimento do vetor (a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Esta fórmula é muito útil porque transforma a “medida de ângulo” em operações algébricas.
  • Aplique isso às duas cordas: os vetores que saem de C são \vec{CA} e \vec{CB}. Com as coordenadas acima: \vec{CA}=(x-250,\,-h),\qquad \vec{CB}=(x+250,\,-h).
  • Calcule o produto escalar: \vec{CA}\cdot\vec{CB}=(x-250)(x+250)+(-h)(-h)=x^2-250^2+h^2.
  • Calcule as magnitudes: \lVert\vec{CA}\rVert=\sqrt{(x-250)^2+h^2},\qquad \lVert\vec{CB}\rVert=\sqrt{(x+250)^2+h^2}.
  • Assim, pela fórmula do cosseno: \cos\gamma=\dfrac{x^2-250^2+h^2}{\sqrt{\bigl((x-250)^2+h^2\bigr)\bigl((x+250)^2+h^2\bigr)}}.
  • Agora faça x=275\\ \mathrm{mm}. Substituindo x=275 obtém-se (simplificando os termos numéricos): x-250=25,\qquad x+250=525,então \cos\gamma=\dfrac{275^2-250^2+h^2}{\sqrt{(25^2+h^2)(525^2+h^2)}} =\dfrac{13125+h^2}{\sqrt{(625+h^2)(275625+h^2)}}.
  • Para obter \gamma numericamente, faz-se \gamma=\operatorname{arccos}(\cos\gamma) após fornecer um valor numérico para h.

Passo 4

Explicação didática do produto escalar e por que o método (a) é apropriado na prova.
  • O produto escalar transforma o problema geométrico (ângulo entre duas cordas) em cálculo com coordenadas. Isso é muito conveniente quando conhece-se as coordenadas dos pontos ou quando as distâncias aparecem naturalmente (como aqui).
  • Exemplo rápido (bem pequeno): se \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(4,3), então \vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4+4\cdot3=24, \lVert\vec{u}\rVert=5, \lVert\vec{v}\rVert=5, logo \cos\gamma=24/25 e \gamma=\operatorname{arccos}(24/25). Mesma ideia aplicada ao nosso problema.

Passo 5

Método (b) — usar a lei dos cossenos no triângulo ABC.
  • Mini-aula sobre a lei dos cossenos: num triângulo de lados a,b,c opostos aos ângulos A,B,C respectivamente, vale c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.Isolando \cos C: \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.
  • No triângulo ABC queremos o ângulo no vértice C (que chamei de \gamma). Os lados relevantes são: AC=\lVert\vec{CA}\rVert=\sqrt{(x-250)^2+h^2},\qquad BC=\lVert\vec{CB}\rVert=\sqrt{(x+250)^2+h^2},\qquad AB=500.
  • Aplicando a lei dos cossenos para \gamma: \cos\gamma=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\,AC\,BC}.
  • Calcule AC^2+BC^2-AB^2. Substituindo AC^2=(x-250)^2+h^2 e BC^2=(x+250)^2+h^2 e AB^2=500^2, obtemos: AC^2+BC^2-AB^2 = \bigl((x-250)^2+h^2\bigr)+\bigl((x+250)^2+h^2\bigr)-250000.Desenvolvendo e simplificando (detalhe passo a passo): (x-250)^2+(x+250)^2 = (x^2-500x+62500)+(x^2+500x+62500)=2x^2+125000,então AC^2+BC^2-AB^2 = 2x^2+125000+2h^2-250000 = 2x^2+2h^2-125000.Dividindo por 2\,AC\,BC \cos\gamma=\dfrac{x^2+h^2-62500}{\sqrt{\bigl((x-250)^2+h^2\bigr)\bigl((x+250)^2+h^2\bigr)}}.
  • Note que este resultado coincide algebraicamente com o resultado do Passo 3 (produto escalar). Isso mostra que as duas formas pedidas (Eq. (3.32) — produto escalar — e lei dos cossenos) são equivalentes neste caso. Para x=275 recuperamos a expressão já encontrada: \cos\gamma=\dfrac{13125+h^2}{\sqrt{(625+h^2)(275625+h^2)}}.

Passo 6

Como extrair o valor numérico final (o que falta e como proceder na prova):
  • Para calcular \gamma numericamente você precisa de h (a distância do ponto C até a linha que contém AB). Se o enunciado original do seu livro/aula fornece esse h em alguma figura ou dado, então basta substituir esse valor na expressão acima, calcular o cosseno e aplicar \gamma=\operatorname{arccos}(\cdot).
  • Exemplo didático: se por exemplo fosse h=400\\ \mathrm{mm} (valor hipotético), substitui-se: \cos\gamma=\dfrac{13125+400^2}{\sqrt{(625+400^2)(275625+400^2)}},calcula-se numericamente e então \gamma=\operatorname{arccos}(\cdot). (Aqui eu não assumo h; este é só um exemplo de como proceder).
  • Conclusão conceitual: os dois métodos pediram no enunciado levam à MESMA fórmula; a diferença é apenas a forma de chegar lá (produto escalar é direto com coordenadas; lei dos cossenos usa comprimentos dos lados do triângulo). Ambos são válidos numa prova — escolha o que você achar mais simples de executar com os dados que tiver.

Resposta

Não é possível fornecer o valor numérico do ângulo sem a distância perpendicular h entre o ponto C e a barra onde está AB. Em função de h e com x=275\\ \mathrm{mm}, o cosseno do ângulo entre as cordas é
\cos\gamma=\dfrac{13125+h^2}{\sqrt{(625+h^2)(275625+h^2)}},
e \gamma=\operatorname{arccos}\!\bigl(\cos\gamma\bigr).

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