O tubo
de 500 mm pode deslizar ao longo da barra horizontal. As extremidades
e
do tubo são conectadas em cordas elásticas que são fixadas no ponto
. Para a posição correspondente a
, determine o ângulo formado pelas duas cordas (a) usando a Eq. (3.32) e (b) aplicando a lei dos cossenos para o triângulo
.
Passo 1
O enunciado (do jeito que chegou) nos dá:
- O tubo
tem comprimento . - O tubo pode deslizar ao longo de uma barra horizontal.
- As extremidades
e estão ligadas por cordas elásticas ao ponto fixo . - Pede-se o ângulo formado pelas duas cordas para a posição correspondente a
: - (a) usando a Eq. (3.32) (isto é, usando a relação vetorial para o cosseno do ângulo entre duas forças/vetores);
- (b) usando a lei dos cossenos no triângulo
.
Informações relevantes listadas:
- Comprimento de
: - Posição indicada pelo enunciado:
Informação que NÃO está no enunciado (e é necessária para calcular numericamente o ângulo):
- A posição absoluta de
e em relação a . Em particular, falta a distância perpendicular (a “altura”) entre o ponto e a barra onde está . Vou chamar essa distância de (em mm). Sem saber (ou as coordenadas completas de , e ), não é possível obter um valor numérico único para o ângulo.
Portanto: posso explicar passo a passo os dois métodos e deduzir a fórmula que dá o ângulo em função dee de , mas NÃO posso fornecer um número final sem a informação de .
Passo 2
Definição do sistema de coordenadas e posições (variáveis) — para deixar tudo explícito.
- Coloco
na origem do sistema de coordenadas: - Assumo que a barra onde desliza
é horizontal e está numa distância vertical (para baixo) igual a em relação a . Ou seja, a reta que contém e tem coordenada . - Defino
como a coordenada do centro de medida a partir de (esta é a interpretação usual: “a posição correspondente a ”). Assim o centro de é . - Então as coordenadas de
e (sabendo que ) são:
- Para o caso pedido,
. Assim:
Obs.: Se a sua convenção para
for diferente, basta me dizer; aqui adotei a convenção mais comum (
= abscissa do centro de
a partir de
).
Passo 3
Método (a) — usar a Eq. (3.32) (interpretação: fórmula vetorial para o cosseno do ângulo entre dois vetores).
- Lembrete matemático importante (a “mini-aula”): o cosseno do ângulo
entre dois vetores e é dado por onde é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e é o comprimento do vetor (a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Esta fórmula é muito útil porque transforma a “medida de ângulo” em operações algébricas. - Aplique isso às duas cordas: os vetores que saem de
são e . Com as coordenadas acima: - Calcule o produto escalar:
- Calcule as magnitudes:
- Assim, pela fórmula do cosseno:
- Agora faça
. Substituindo obtém-se (simplificando os termos numéricos): então - Para obter
numericamente, faz-se após fornecer um valor numérico para .
Passo 4
Explicação didática do produto escalar e por que o método (a) é apropriado na prova.
- O produto escalar transforma o problema geométrico (ângulo entre duas cordas) em cálculo com coordenadas. Isso é muito conveniente quando conhece-se as coordenadas dos pontos ou quando as distâncias aparecem naturalmente (como aqui).
- Exemplo rápido (bem pequeno): se
e , então , , , logo e . Mesma ideia aplicada ao nosso problema.
Passo 5
Método (b) — usar a lei dos cossenos no triângulo
.
- Mini-aula sobre a lei dos cossenos: num triângulo de lados
opostos aos ângulos respectivamente, vale Isolando : - No triângulo
queremos o ângulo no vértice (que chamei de ). Os lados relevantes são: - Aplicando a lei dos cossenos para
: - Calcule
. Substituindo e e , obtemos: Desenvolvendo e simplificando (detalhe passo a passo): então Dividindo por dá - Note que este resultado coincide algebraicamente com o resultado do Passo 3 (produto escalar). Isso mostra que as duas formas pedidas (Eq. (3.32) — produto escalar — e lei dos cossenos) são equivalentes neste caso. Para
recuperamos a expressão já encontrada:
Passo 6
Como extrair o valor numérico final (o que falta e como proceder na prova):
- Para calcular
numericamente você precisa de (a distância do ponto até a linha que contém ). Se o enunciado original do seu livro/aula fornece esse em alguma figura ou dado, então basta substituir esse valor na expressão acima, calcular o cosseno e aplicar . - Exemplo didático: se por exemplo fosse
(valor hipotético), substitui-se: calcula-se numericamente e então . (Aqui eu não assumo ; este é só um exemplo de como proceder). - Conclusão conceitual: os dois métodos pediram no enunciado levam à MESMA fórmula; a diferença é apenas a forma de chegar lá (produto escalar é direto com coordenadas; lei dos cossenos usa comprimentos dos lados do triângulo). Ambos são válidos numa prova — escolha o que você achar mais simples de executar com os dados que tiver.
Resposta
Não é possível fornecer o valor numérico do ângulo sem a distância perpendicular
entre o ponto
e a barra onde está
. Em função de
e com
, o cosseno do ângulo entre as cordas é
e
.