Sabendo que a tração no cabo B C é de 1.400 N , determine (a) o ângulo entre o cabo B C e a barra A B e (b) a projeção em A B da força exercida pelo cabo B C no ponto B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o ângulo entre o cabo BC e a barra AB (ou seja, o ângulo no ponto B entre as direções do cabo e da barra);
  • (b) a projeção em AB da força exercida pelo cabo BC no ponto B (isto é, a componente da força de tração T=1400\\ \text{N} ao longo da direção da barra AB).
Informações relevantes extraídas da figura (peguei estes comprimentos da imagem):
  • Distância horizontal (no eixo x) entre a projeção de A e a projeção de B: 2,4\\ \text{m}.
  • Diferença vertical (eixo z) entre B e A: 1,8\\ \text{m} ( A está 1,8\\ \text{m} abaixo de B).
  • Distância horizontal (no eixo y) entre B e C: 3,6\\ \text{m} (obtida como 2{,}4+1{,}2 m, ambos marcados na figura).
  • Diferença vertical entre C e A: 2{,}6\\ \text{m} (da marcação na figura), o que dá a elevação de C relativa a B quando combinada com a altura de A (ver Passo 2).
  • Tração no cabo BC: T=1400\\ \text{N}.

Passo 2

Definir um sistema de coordenadas conveniente e obter as coordenadas de A, B e C.
Escolho:
  • eixo x apontando para a direita na vista inferior,
  • eixo y apontando para a direita na vista superior (como indicado na figura),
  • eixo z para cima (vertical).
Coloco o ponto B na posição
B=(0,\;2{,}4,\;0)\\ \text{m},
ou seja, sob a ancoragem vertical que está a 2{,}4\\ \text{m} à direita do eixo vertical central mostrado na figura. (Essa escolha é apenas uma origem conveniente; o que importa são as diferenças entre pontos.)
Usando as distâncias tiradas da figura:
  • A está 2{,}4\\ \text{m} à esquerda de B no eixo x e 1{,}8\\ \text{m} abaixo de B. Logo
A = (-2{,}4,\;2{,}4,\;-1{,}8)\\ \text{m}.
(Observe que o componente y de A é igual ao de B porque A está “à frente/atrás” no mesmo plano de B segundo a figura horizontal mostrada.)
  • Para C: a figura mostra que C está 1{,}2\\ \text{m} à esquerda do eixo central, enquanto a ancoragem de B está 2{,}4\\ \text{m} à direita do eixo central, então a diferença em y entre B e C é
y_C - y_B = -1{,}2 - (+2{,}4) = -3{,}6\\ \text{m},
ou seja, C está 3{,}6\\ \text{m} para “a esquerda” de B no sentido do eixo y. A figura também indica que C está 2{,}6\\ \text{m} acima de A; como z_A=-1{,}8\\ \text{m}, então
z_C = z_A + 2{,}6 = -1{,}8 + 2{,}6 = 0{,}8\\ \text{m}.
Supondo que C tenha o mesmo deslocamento em x que A (a figura mostra A e C alinhados na mesma direção x), tomo
C = (-2{,}4,\;-1{,}2,\;0{,}8)\\ \text{m}.
Verificação dos vetores entre pontos (usar sempre vetor do ponto origem para destino):
  • Vetor da barra AB no sentido de B a A:
\overrightarrow{BA}=A-B = (-2{,}4,\;0,\;-1{,}8)\\ \text{m}.
  • Vetor do cabo BC no sentido de B a C:
\overrightarrow{BC}=C-B = (-2{,}4,\;-3{,}6,\;0{,}8)\\ \text{m}.

Passo 3

Calcular comprimentos (normas) dos vetores — isso é necessário para construir vetores unitários e usar o produto escalar.
  • Norma de \overrightarrow{BA}:
\|\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{(-2{,}4)^2+0^2+(-1{,}8)^2} =\sqrt{5{,}76+0+3{,}24}=\sqrt{9}=3{,}0\\ \text{m}.
  • Norma de \overrightarrow{BC}:
\|\overrightarrow{BC}\| =\sqrt{(-2{,}4)^2+(-3{,}6)^2+(0{,}8)^2} =\sqrt{5{,}76+12{,}96+0{,}64} =\sqrt{19{,}36}=4{,}4\\ \text{m}.

Passo 4

Lembrar a fórmula do ângulo entre dois vetores: se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores, então o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar.
Calcular o produto escalar \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =(-2{,}4)(-2{,}4)+0(-3{,}6)+(-1{,}8)(0{,}8) =5{,}76+0-1{,}44=4{,}32.
Portanto
\cos\theta =\frac{4{,}32}{(3{,}0)(4{,}4)}=\frac{4{,}32}{13{,}2}=0{,}3272727\ldots
Assim o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}(0{,}3272727\ldots)\approx 70{,}94^\circ.

Passo 5

Explicar e calcular a projeção (componente) da força do cabo BC ao longo da barra AB.
  • A força aplicada por um cabo de tração T na extremidade B tem direção e sentido do vetor \overrightarrow{BC} (puxa B na direção de C). O vetor força é
\mathbf{F}=T\\ \mathbf{\hat{u}}_{BC},
onde \mathbf{\hat{u}}_{BC}=\dfrac{\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|} é o vetor unitário na direção BC.
  • A projeção escalar da força \mathbf{F} sobre a direção da barra AB (ou seja, a componente da força ao longo de AB) é dada por
\text{proj}_{AB}\,F = \mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat{u}}_{AB}
onde \mathbf{\hat{u}}_{AB}=\dfrac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|} é o vetor unitário na direção de BA (do ponto B em direção a A).
Calcular os vetores unitários:
\mathbf{\hat{u}}_{AB}=\frac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|}=\frac{(-2{,}4,\;0,\;-1{,}8)}{3{,}0}=(-0{,}8,\;0,\;-0{,}6).
\mathbf{\hat{u}}_{BC}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|}=\frac{(-2{,}4,\;-3{,}6,\;0{,}8)}{4{,}4}=(-0{,}545454\ldots,\;-0{,}818181\ldots,\;0{,}181818\ldots).
Produto escalar entre os unitários (isto é, o cosseno do ângulo já calculado):
\mathbf{\hat{u}}_{BC}\cdot\mathbf{\hat{u}}_{AB}=0{,}3272727\ldots
(esse valor coincide com \cos\theta do Passo 4, como esperado).
Logo a componente escalar da força ao longo de AB é
\text{proj}_{AB}\,F = T\\ (\mathbf{\hat{u}}_{BC}\cdot\mathbf{\hat{u}}_{AB}) =1400\cdot 0{,}3272727\ldots \approx 458{,}18\\ \text{N}.
Interpretação física: esse valor positivo indica que a componente da tração ao longo da direção de BA aponta na direção de \mathbf{\hat{u}}_{AB} (isto é, puxa B na direção de A), com magnitude aproximadamente 458{,}2\\ \text{N}.

Resposta

(a) 70{,}94^\circ
(b) 458{,}18\\ \text{N}

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