Sabendo que a tração no cabo B D é de 900 N , determine (a) o ângulo entre o cabo B D e a barra A B e (b) a projeção em A B da força exercida pelo cabo B D no ponto B.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que sabemos (peguei estas medidas da imagem enviada).
  • Pede: (a) o ângulo entre o cabo BD e a barra AB. (b) a projeção em AB da força (tração) exercida pelo cabo BD no ponto B.
  • Dados extraídos da imagem:
    • Distância entre A e B projetada ao longo do eixo horizontal: \,2,4\\ \text{m}.
    • Queda vertical de B para o nível de A: \,1,8\\ \text{m}.
    • Distância horizontal, na direção perpendicular à barra, entre B e a linha vertical em que está D: \,1,2\\ \text{m}.
    • Altura vertical de D acima de B: \,3,0\\ \text{m}.
    • Tração no cabo BD: \,900\\ \text{N}.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e posição dos pontos (escolha conveniente).
  • Para trabalhar de modo simples, coloco a origem em B: B=(0,0,0).
  • Defino eixos de forma concordante com a figura:
    • x para a direita/ao longo da projeção da barra AB (ou seja, do ponto A para B a projeção é +2,4\\ \text{m}),
    • y na direção perpendicular ao plano anterior (para a direita da figura onde está D),
    • z para cima (vertical).
  • Usando as medidas que peguei da imagem:
    • O ponto A fica \,2,4\\ \text{m} para a esquerda de B e \,1,8\\ \text{m} abaixo de B. Como estou colocando B na origem, escolho A = (-2,4,\;0,\;-1,8).(ou seja, componente x=-2{,}4\\ \text{m}, y=0, z=-1{,}8\\ \text{m}.)
    • O ponto D fica \,1,2\\ \text{m} na direção y a partir de B e \,3{,}0\\ \text{m} acima de B. Então D = (0,\;1,2,\;3{,}0).
  • Observação: coloquei A e D segundo as distâncias que aparecem na figura, tomando B como referência.

Passo 3

Vetores que representam as direções das duas linhas.
  • Vetor que representa a barra AB (do ponto B para A ou de A para B). Vou usar a direção de A para B porque assim o vetor aponta de A para B (sinal mais intuitivo para componente positiva): \overrightarrow{AB} = B - A = (0-(-2,4),\;0-0,\;0-(-1,8)) = (2,4,\;0,\;1,8).
  • Vetor que representa o cabo BD (do ponto B para D): \overrightarrow{BD} = D - B = (0,\;1,2,\;3{,}0).

Passo 4

Fórmula do ângulo entre duas retas (vetores) e pequena explicação didática.
  • Para encontrar o ângulo \theta entre duas linhas usa-se o produto escalar entre os vetores que representam as direções. Regra: \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u}\rVert\,\lVert \overrightarrow{v}\rVert\cos\theta.Aqui \lVert\cdot\rVert é o comprimento (norma) do vetor e o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Vou calcular produto escalar e normas.

Passo 5

Cálculo do produto escalar e das normas.
  • Produto escalar: \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD} = (2,4)(0) + (0)(1,2) + (1,8)(3{,}0) = 0 + 0 + 5,4 = 5,4.
  • Norma de \overrightarrow{AB}: \lVert\overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{(2,4)^2 + 0^2 + (1,8)^2} = \sqrt{5,76 + 3,24} = \sqrt{9{,}00} = 3{,}00.
  • Norma de \overrightarrow{BD}: \lVert\overrightarrow{BD}\rVert = \sqrt{0^2 + (1,2)^2 + (3{,}0)^2} = \sqrt{1{,}44 + 9{,}00} = \sqrt{10{,}44} \approx 3{,}232.

Passo 6

Cálculo do ângulo \theta usando o produto escalar.
  • Aplicando a fórmula para \cos\theta: \cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}}{\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\,\lVert\overrightarrow{BD}\rVert} = \dfrac{5,4}{3{,}00\cdot 3{,}232}\approx 0,5573.
  • Portanto \theta = \operatorname{arccos}(0,5573) \approx 55{,}9^\circ.
  • Interpretação: o ângulo entre o cabo BD e a barra AB é aproximadamente \,55{,}9^\circ (arredondando, \,56^\circ).

Passo 7

Cálculo da projeção da força de 900\\ \text{N} ao longo de AB (explicação didática).
  • A projeção escalar da força \overrightarrow{F} (aqui \overrightarrow{F} tem módulo 900\\ \text{N} e direção \overrightarrow{BD}) sobre a direção de \overrightarrow{AB} pode ser obtida por duas formas equivalentes:
    1. F_{\text{proj}} = \lVert\overrightarrow{F}\rVert\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e a direção AB.
    2. F_{\text{proj}} = \overrightarrow{F}\cdot \hat{u}_{AB}, onde \hat{u}_{AB} é o versor (vetor unitário) na direção de AB.
  • Como já temos \cos\theta, uso a forma 1). Assim: F_{\text{proj}} = 900\cdot\cos\theta \approx 900\cdot 0,5573 \approx 501{,}6\\ \text{N}.
  • Sinal e direção: esse valor positivo significa que a componente da força ao longo de AB tem sentido do ponto A para B (pois usei \overrightarrow{AB} na direção de A\to B). Se desejar a componente no sentido oposto, troca-se o sinal.

Resposta

\theta \approx 55{,}9^\circ
F_{\text{proj}} \approx 501{,}6\\ \text{N}

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