Sabendo que a tração no cabo B D é de 900 N , determine (a) o ângulo entre o cabo B D e a barra A B e (b) a projeção em A B da força exercida pelo cabo B D no ponto B.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos (peguei estas medidas da imagem enviada).
Pede: (a) o ângulo entre o cabo BD e a barra AB. (b) a projeção em AB da força (tração) exercida pelo cabo BD no ponto B.
Dados extraídos da imagem:
Distância entre A e B projetada ao longo do eixo horizontal: \,2,4\\ \text{m}.
Queda vertical de B para o nível de A: \,1,8\\ \text{m}.
Distância horizontal, na direção perpendicular à barra, entre B e a linha vertical em que está D: \,1,2\\ \text{m}.
Altura vertical de D acima de B: \,3,0\\ \text{m}.
Tração no cabo BD: \,900\\ \text{N}.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e posição dos pontos (escolha conveniente).
Para trabalhar de modo simples, coloco a origem em B: B=(0,0,0).
Defino eixos de forma concordante com a figura:
x para a direita/ao longo da projeção da barra AB (ou seja, do ponto A para B a projeção é +2,4\\ \text{m}),
y na direção perpendicular ao plano anterior (para a direita da figura onde está D),
z para cima (vertical).
Usando as medidas que peguei da imagem:
O ponto A fica \,2,4\\ \text{m} para a esquerda de B e \,1,8\\ \text{m} abaixo de B. Como estou colocando B na origem, escolhoA = (-2,4,\;0,\;-1,8).(ou seja, componente x=-2{,}4\\ \text{m}, y=0, z=-1{,}8\\ \text{m}.)
O ponto D fica \,1,2\\ \text{m} na direção y a partir de B e \,3{,}0\\ \text{m} acima de B. EntãoD = (0,\;1,2,\;3{,}0).
Observação: coloquei A e D segundo as distâncias que aparecem na figura, tomando B como referência.
Passo 3
Vetores que representam as direções das duas linhas.
Vetor que representa a barra AB (do ponto B para A ou de A para B). Vou usar a direção de A para B porque assim o vetor aponta de A para B (sinal mais intuitivo para componente positiva):\overrightarrow{AB} = B - A = (0-(-2,4),\;0-0,\;0-(-1,8)) = (2,4,\;0,\;1,8).
Vetor que representa o cabo BD (do ponto B para D):\overrightarrow{BD} = D - B = (0,\;1,2,\;3{,}0).
Passo 4
Fórmula do ângulo entre duas retas (vetores) e pequena explicação didática.
Para encontrar o ângulo \theta entre duas linhas usa-se o produto escalar entre os vetores que representam as direções. Regra:\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u}\rVert\,\lVert \overrightarrow{v}\rVert\cos\theta.Aqui \lVert\cdot\rVert é o comprimento (norma) do vetor e o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Interpretação: o ângulo entre o cabo BD e a barra AB é aproximadamente \,55{,}9^\circ (arredondando, \,56^\circ).
Passo 7
Cálculo da projeção da força de 900\\ \text{N} ao longo de AB (explicação didática).
A projeção escalar da força \overrightarrow{F} (aqui \overrightarrow{F} tem módulo 900\\ \text{N} e direção \overrightarrow{BD}) sobre a direção de \overrightarrow{AB} pode ser obtida por duas formas equivalentes:
F_{\text{proj}} = \lVert\overrightarrow{F}\rVert\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e a direção AB.
F_{\text{proj}} = \overrightarrow{F}\cdot \hat{u}_{AB}, onde \hat{u}_{AB} é o versor (vetor unitário) na direção de AB.
Como já temos \cos\theta, uso a forma 1). Assim:F_{\text{proj}} = 900\cdot\cos\theta \approx 900\cdot 0,5573 \approx 501{,}6\\ \text{N}.
Sinal e direção: esse valor positivo significa que a componente da força ao longo de AB tem sentido do ponto A para B (pois usei \overrightarrow{AB} na direção de A\to B). Se desejar a componente no sentido oposto, troca-se o sinal.