1. Um tubo de aço ( \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, \alpha=11,7 \times 10-6 /{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de diâmetro externo igual a 5 cm e diâmetro interno 4,5 \mathrm{~cm} está por fora de um cilindro de latão \left(\mathrm{E}=105 \mathrm{GPa}, \alpha=20,9 \times 10-6 /{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), de 3,8 \mathrm{~cm} de diâmetro. Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades. À temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, as tensões normais são nulas. Caso se eleve a temperatura para 121{ }^{\circ} \mathrm{C}, qual a tensão normal no aço e no latão?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que é pedido):
  • Dados geométricos:
    • Tubo de aço: diâmetro externo D_{s,ext}=5{,}0\\ \mathrm{cm} e diâmetro interno D_{s,int}=4{,}5\\ \mathrm{cm}.
    • Cilindro de latão (no interior): diâmetro D_{b}=3{,}8\\ \mathrm{cm}.
  • Propriedades dos materiais:
    • Aço: E_{s}=200\\ \mathrm{GPa} e \alpha_{s}=11{,}7\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}.
    • Latão: E_{b}=105\\ \mathrm{GPa} e \alpha_{b}=20{,}9\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C}.
  • Condição térmica:
    • Temperatura inicial T_{0}=27^\circ\mathrm{C} (estado sem tensões).
    • Temperatura final T_{1}=121^\circ\mathrm{C}.
  • Informações de montagem:
    • Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades (logo têm a mesma deformação axial final).
    • Inicialmente, em T_{0}, as tensões normais são nulas.
  • O que se pede:
    • Determinar a tensão normal no aço e a tensão normal no latão quando a temperatura é elevada para T_{1}.

Passo 2

Ideia física e equações fundamentais (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
  • Expansão térmica livre: se um corpo livre muda de temperatura em \Delta T, a sua deformação axial livre (sem restrição) vale
\varepsilon_{\text{térmica}}=\alpha\,\Delta T,é
onde \alpha é o coeficiente de dilatação térmica e \Delta T=T_{1}-T_{0}.
  • Deformação real quando há restrição: se o corpo não pode expandir livremente, aparece uma tensão \sigma que está relacionada à deformação elástica pela Lei de Hooke:
\varepsilon=\varepsilon_{\text{térmica}}-\frac{\sigma}{E},é
ou rearranjando,
\sigma=E\left(\varepsilon_{\text{térmica}}-\varepsilon\right).é
Aqui:
  • \varepsilon é a deformação axial comum imposta pelas placas rígidas (a mesma para aço e latão),
  • E é o módulo de Young do material,
  • \sigma é a tensão axial (positiva para tração, negativa para compressão).
  • Equilíbrio de forças axiais: como não há força externa resultante nas extremidades fixas, a soma das forças internas é zero:
\sigma_{s} A_{s}+\sigma_{b} A_{b}=0,
onde A_{s} e A_{b} são as áreas da seção transversal do aço e do latão respectivamente.
  • Compatibilidade: ambos têm a mesma deformação axial \varepsilon, portanto
\alpha_{s}\Delta T-\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}=\alpha_{b}\Delta T-\frac{\sigma_{b}}{E_{b}}.
Com essas duas equações (equilíbrio e compatibilidade) resolvemos para \sigma_{s} e \sigma_{b}.

Passo 3

Cálculo das áreas das seções transversais (usar unidades SI consistentemente).
  • Converter diâmetros para metros:
D_{s,ext}=0{,}050\\ \mathrm{m},\qquad D_{s,int}=0{,}045\\ \mathrm{m},\qquad D_{b}=0{,}038\\ \mathrm{m}.
  • Área do tubo de aço (anel):
A_{s}=\pi\left(\left(\frac{D_{s,ext}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{D_{s,int}}{2}\right)^{2}\right) =\pi\left(0{,}025^{2}-0{,}0225^{2}\right).
Calculemos os termos:
0{,}025^{2}=0{,}000625,\qquad 0{,}0225^{2}=0{,}00050625,
A_{s}=\pi(0{,}000625-0{,}00050625)=\pi(0{,}00011875)=3{,}727\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Área do cilindro de latão (seção sólida):
A_{b}=\pi\left(\frac{D_{b}}{2}\right)^{2}=\pi(0{,}019^{2})=\pi(0{,}000361)=1{,}134\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Razão de áreas (usar depois):
\frac{A_{s}}{A_{b}}=\frac{3{,}727\times10^{-4}}{1{,}134\times10^{-3}}=0{,}3287\\ (\text{adimensional}).

Passo 4

Montagem das equações e solução algébrica para as tensões.
  • Definir \Delta T:
\Delta T=T_{1}-T_{0}=121-27=94\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Equilíbrio de forças:
\sigma_{s}A_{s}+\sigma_{b}A_{b}=0\quad\Rightarrow\quad \sigma_{b}=-\frac{A_{s}}{A_{b}}\sigma_{s}.
  • Compatibilidade de deformações:
\alpha_{s}\Delta T-\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}=\alpha_{b}\Delta T-\frac{\sigma_{b}}{E_{b}}.
  • Substituir \sigma_{b} da equação de equilíbrio na compatibilidade:
\alpha_{s}\Delta T-\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} =\alpha_{b}\Delta T-\frac{-\dfrac{A_{s}}{A_{b}}\sigma_{s}}{E_{b}} =\alpha_{b}\Delta T+\frac{A_{s}}{A_{b}}\frac{\sigma_{s}}{E_{b}}.
  • Reorganizando para isolar \sigma_{s}:
\alpha_{s}\Delta T-\alpha_{b}\Delta T =\sigma_{s}\left(\frac{1}{E_{s}}+\frac{A_{s}}{A_{b}}\frac{1}{E_{b}}\right).
  • Portanto,
\sigma_{s} =\frac{(\alpha_{s}-\alpha_{b})\Delta T}{\dfrac{1}{E_{s}}+\dfrac{A_{s}}{A_{b}}\dfrac{1}{E_{b}}}.
  • E em seguida
\sigma_{b}=-\frac{A_{s}}{A_{b}}\sigma_{s}.

Passo 5

Substituir números e calcular numericamente (faço passo a passo para você acompanhar e poder repetir na prova).
  • Coeficientes e módulos em unidades SI:
\alpha_{s}=11{,}7\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C},\qquad \alpha_{b}=20{,}9\times10^{-6}\\ /^\circ\mathrm{C},
E_{s}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\qquad E_{b}=105\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Primeiro calcule o numerador:
(\alpha_{s}-\alpha_{b})\Delta T =(11{,}7\times10^{-6}-20{,}9\times10^{-6})\times94 =-9{,}2\times10^{-6}\times94=-8{,}648\times10^{-4}.
  • Agora o denominador:
\frac{1}{E_{s}}+\frac{A_{s}}{A_{b}}\frac{1}{E_{b}} =\frac{1}{200\times10^{9}}+0{,}3287\cdot\frac{1}{105\times10^{9}}.
Calcule cada termo:
\frac{1}{E_{s}}=5{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{Pa}^{-1},
\frac{1}{E_{b}}=\frac{1}{105\times10^{9}}=9{,}5238\times10^{-12}\\ \mathrm{Pa}^{-1},
\frac{A_{s}}{A_{b}}\frac{1}{E_{b}}=0{,}3287\times9{,}5238\times10^{-12}=3{,}131\times10^{-12}\\ \mathrm{Pa}^{-1}.
Somando:
\frac{1}{E_{s}}+\frac{A_{s}}{A_{b}}\frac{1}{E_{b}}=5{,}00\times10^{-12}+3{,}131\times10^{-12}=8{,}131\times10^{-12}\\ \mathrm{Pa}^{-1}.
  • Agora a tensão no aço:
\sigma_{s}=\frac{-8{,}648\times10^{-4}}{8{,}131\times10^{-12}}=-1{,}0638\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
\sigma_{s}=-106{,}4\\ \mathrm{MPa}.
(O sinal negativo indica que o aço está em compressão.)

Passo 6

Calcular a tensão no latão usando a relação de equilíbrio.
\sigma_{b}=-\frac{A_{s}}{A_{b}}\sigma_{s}=-0{,}3287\times(-1{,}0638\times10^{8})=3{,}497\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades práticas:
\sigma_{b}=34{,}97\\ \mathrm{MPa}.
(O sinal positivo indica que o latão fica tracionado.)

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência):
  • Verificar equilíbrio: \sigma_{s}A_{s}+\sigma_{b}A_{b}\approx0 (com os valores calculados isso se confirma numericamente).
  • Interpretação física: o latão tem coeficiente de dilatação maior ( \alpha_{b}>\alpha_{s}), então ao aquecer o latão “quer” expandir mais que o aço; como estão ligados e as extremidades são rígidas, o latão termina em tração e o aço em compressão — exatamente o que os sinais das tensões mostram.
Força extra de ânimo: você conseguiu! Esse tipo de problema sempre segue as mesmas ideias: compatibilidade (mesma deformação), equilíbrio (forças somam zero) e Lei de Hooke. Memoriza essas 3 chaves e fica bem mais fácil na prova.

Resposta

Aço: \sigma_{s}=-106{,}4\\ \mathrm{MPa}
Latão: \sigma_{b}=34{,}97\\ \mathrm{MPa}

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