- Um tubo de aço (
) de diâmetro externo igual a 5 cm e diâmetro interno
está por fora de um cilindro de latão
, de
de diâmetro. Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades. À temperatura de
, as tensões normais são nulas. Caso se eleve a temperatura para
, qual a tensão normal no aço e no latão?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que é pedido):
-
Dados geométricos:
- Tubo de aço: diâmetro externo
e diâmetro interno . - Cilindro de latão (no interior): diâmetro
.
- Tubo de aço: diâmetro externo
-
Propriedades dos materiais:
- Aço:
e . - Latão:
e .
- Aço:
-
Condição térmica:
- Temperatura inicial
(estado sem tensões). - Temperatura final
.
- Temperatura inicial
-
Informações de montagem:
- Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades (logo têm a mesma deformação axial final).
- Inicialmente, em
, as tensões normais são nulas.
-
O que se pede:
- Determinar a tensão normal no aço e a tensão normal no latão quando a temperatura é elevada para
.
- Determinar a tensão normal no aço e a tensão normal no latão quando a temperatura é elevada para
Passo 2
Ideia física e equações fundamentais (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
- Expansão térmica livre: se um corpo livre muda de temperatura em
, a sua deformação axial livre (sem restrição) vale
onde
é o coeficiente de dilatação térmica e
.
- Deformação real quando há restrição: se o corpo não pode expandir livremente, aparece uma tensão
que está relacionada à deformação elástica pela Lei de Hooke:
ou rearranjando,
Aqui:
-
é a deformação axial comum imposta pelas placas rígidas (a mesma para aço e latão), -
é o módulo de Young do material, -
é a tensão axial (positiva para tração, negativa para compressão). -
Equilíbrio de forças axiais: como não há força externa resultante nas extremidades fixas, a soma das forças internas é zero:
onde
e
são as áreas da seção transversal do aço e do latão respectivamente.
- Compatibilidade: ambos têm a mesma deformação axial
, portanto
Com essas duas equações (equilíbrio e compatibilidade) resolvemos para
e
.
Passo 3
Cálculo das áreas das seções transversais (usar unidades SI consistentemente).
- Converter diâmetros para metros:
- Área do tubo de aço (anel):
Calculemos os termos:
- Área do cilindro de latão (seção sólida):
- Razão de áreas (usar depois):
Passo 4
Montagem das equações e solução algébrica para as tensões.
- Definir
:
- Equilíbrio de forças:
- Compatibilidade de deformações:
- Substituir
da equação de equilíbrio na compatibilidade:
- Reorganizando para isolar
:
- Portanto,
- E em seguida
Passo 5
Substituir números e calcular numericamente (faço passo a passo para você acompanhar e poder repetir na prova).
- Coeficientes e módulos em unidades SI:
- Primeiro calcule o numerador:
- Agora o denominador:
Calcule cada termo:
Somando:
- Agora a tensão no aço:
Em unidades mais usuais:
(O sinal negativo indica que o aço está em compressão.)
Passo 6
Calcular a tensão no latão usando a relação de equilíbrio.
Em unidades práticas:
(O sinal positivo indica que o latão fica tracionado.)
Passo 7
Verificação rápida (checagem de consistência):
- Verificar equilíbrio:
(com os valores calculados isso se confirma numericamente). - Interpretação física: o latão tem coeficiente de dilatação maior (
), então ao aquecer o latão “quer” expandir mais que o aço; como estão ligados e as extremidades são rígidas, o latão termina em tração e o aço em compressão — exatamente o que os sinais das tensões mostram.
Força extra de ânimo: você conseguiu! Esse tipo de problema sempre segue as mesmas ideias: compatibilidade (mesma deformação), equilíbrio (forças somam zero) e Lei de Hooke. Memoriza essas 3 chaves e fica bem mais fácil na prova.
Resposta
Aço:
Latão: