1. Um pilar de concreto armado está submetido à compressão axial. As duas extremidades estão ligadas a placas rígidas, de tal forma que os alongamentos ou encurtamentos, do aço e do concreto, são iguais. Sabendo-se que a tensão do concreto é de 72 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, pergunta-se qual a tensão no aço, admitindo que o módulo de elasticidade deste material seja igual a 12 vezes o módulo do concreto. Admita-se, também, que não haja flambagem, e que se desprezem as influências das deformações laterais, de ambos os materiais.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: a tensão no concreto é \sigma_c = 72\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Dado: o módulo de elasticidade do aço é doze vezes o do concreto, isto é E_s = 12\,E_c.
  • Condição geométrica/compatibilidade: as duas extremidades estão presas a placas rígidas de modo que os alongamentos (encurtamentos) do aço e do concreto são iguais — portanto a deformação longitudinal do aço é igual à do concreto.
  • Admissões: não há flambagem; desprezam-se deformações laterais (logo tratamos apenas deformação axial).
  • Pedido: determinar a tensão no aço.

Passo 2

Conceito que vamos usar (Lei de Hooke para regime elástico linear): em compressão ou tração elástica, a tensão está relacionada com a deformação por
\sigma = E\,\epsilon,
onde:
  • \sigma é a tensão (força por área),
  • E é o módulo de elasticidade do material,
  • \epsilon é a deformação axial (alongamento relativo).
Explicando com calma: se um material foi comprimido ou esticado um pouco, a deformação \epsilon mede essa variação de comprimento relativa (sem unidade). O módulo E traduz quanto de tensão é necessária para produzir uma determinada \epsilon. Quanto maior E, mais rígido é o material.

Passo 3

Como o enunciado diz que os alongamentos são iguais, temos compatibilidade de deformação:
\epsilon_c=\epsilon_s=\epsilon.
Aplicando a Lei de Hooke separadamente para concreto e aço:
\sigma_c = E_c\,\epsilon, \qquad \sigma_s = E_s\,\epsilon,
onde os subscritos c e s indicam concreto e aço, respectivamente.

Passo 4

Isolando \epsilon a partir da equação do concreto:
\epsilon = \frac{\sigma_c}{E_c}.
Substituindo essa expressão na equação do aço obtemos:
\sigma_s = E_s\,\epsilon = E_s\left(\frac{\sigma_c}{E_c}\right)=\frac{E_s}{E_c}\,\sigma_c.
Aqui cada símbolo já foi definido: \sigma_s é a tensão no aço que queremos; \sigma_c é a tensão conhecida do concreto; E_s/E_c é a razão entre os módulos.

Passo 5

Usamos agora a informação numérica sobre os módulos: E_s = 12\,E_c. Substituindo na relação anterior:
\sigma_s = \frac{E_s}{E_c}\,\sigma_c = 12\,\sigma_c.
Substituindo \sigma_c = 72\\ \mathrm{kgf/cm^2} obtemos a expressão numérica para \sigma_s:
\sigma_s = 12\cdot 72\\ \mathrm{kgf/cm^2}.

Passo 6

Verificações e interpretação rápida: a tensão no aço será maior que a do concreto porque o aço é mais rígido (maior E) e, com a mesma deformação, a tensão escala com E. As unidades estão consistentes (kgf/cm^2). Também a hipótese de desprezar deformações laterais e trabalhar em regime elástico linear foi usada ao aplicar a Lei de Hooke.

Resposta

\,864\\ \mathrm{kgf/cm^2}

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