- Um pilar de concreto armado está submetido à compressão axial. As duas extremidades estão ligadas a placas rígidas, de tal forma que os alongamentos ou encurtamentos, do aço e do concreto, são iguais. Sabendo-se que a tensão do concreto é de
, pergunta-se qual a tensão no aço, admitindo que o módulo de elasticidade deste material seja igual a 12 vezes o módulo do concreto. Admita-se, também, que não haja flambagem, e que se desprezem as influências das deformações laterais, de ambos os materiais.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: a tensão no concreto é
. - Dado: o módulo de elasticidade do aço é doze vezes o do concreto, isto é
. - Condição geométrica/compatibilidade: as duas extremidades estão presas a placas rígidas de modo que os alongamentos (encurtamentos) do aço e do concreto são iguais — portanto a deformação longitudinal do aço é igual à do concreto.
- Admissões: não há flambagem; desprezam-se deformações laterais (logo tratamos apenas deformação axial).
- Pedido: determinar a tensão no aço.
Passo 2
Conceito que vamos usar (Lei de Hooke para regime elástico linear): em compressão ou tração elástica, a tensão está relacionada com a deformação por
onde:
-
é a tensão (força por área), -
é o módulo de elasticidade do material, -
é a deformação axial (alongamento relativo).
Explicando com calma: se um material foi comprimido ou esticado um pouco, a deformação
mede essa variação de comprimento relativa (sem unidade). O módulo
traduz quanto de tensão é necessária para produzir uma determinada
. Quanto maior
, mais rígido é o material.
Passo 3
Como o enunciado diz que os alongamentos são iguais, temos compatibilidade de deformação:
Aplicando a Lei de Hooke separadamente para concreto e aço:
onde os subscritos
e
indicam concreto e aço, respectivamente.
Passo 4
Isolando
a partir da equação do concreto:
Substituindo essa expressão na equação do aço obtemos:
Aqui cada símbolo já foi definido:
é a tensão no aço que queremos;
é a tensão conhecida do concreto;
é a razão entre os módulos.
Passo 5
Usamos agora a informação numérica sobre os módulos:
. Substituindo na relação anterior:
Substituindo
obtemos a expressão numérica para
:
Passo 6
Verificações e interpretação rápida: a tensão no aço será maior que a do concreto porque o aço é mais rígido (maior
) e, com a mesma deformação, a tensão escala com
. As unidades estão consistentes (kgf/cm^2). Também a hipótese de desprezar deformações laterais e trabalhar em regime elástico linear foi usada ao aplicar a Lei de Hooke.