Um tubo em “U”, cujas extremidades se abrem na atmosfera, está cheio de mercúrio na base. Num ramo, uma coluna d’água eleva-se 750 mm acima do mercúrio, no outro, uma coluna de óleo (peso específico relativo =0,80 ) tem 450 mm acima do mercúrio. Qual a diferença de altura entre as superfícies livres de água e óleo?

Passo 1

O enunciado dá um tubo em U, aberto em ambas as extremidades (pressão atmosférica em cada superfície livre), com mercúrio na base. As informações relevantes são (peguei esses números do enunciado):
  • Coluna de água: h_{w}=750\\ \text{mm} = 0,75\\ \text{m} acima do mercúrio.
  • Coluna de óleo: h_{o}=450\\ \text{mm} = 0,45\\ \text{m} acima do mercúrio.
  • Peso específico relativo do óleo em relação à água: =0{,}80. Isto significa que a densidade do óleo é 0{,}80 vezes a densidade da água.
O que o problema pede:
  • Calcular a diferença de altura entre as superfícies livres de água e óleo, isto é \Delta = y_{\text{água}}-y_{\text{óleo}}áó.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula curtinha e prática):
  • Em equilíbrio estático, a pressão em um mesmo nível horizontal dentro do mesmo líquido é a mesma.
  • As superfícies livres estão expostas à mesma pressão atmosférica P_{\text{atm}}. A pressão no ponto de contato entre cada líquido leve (água ou óleo) e o mercúrio é a pressão atmosférica acrescida da pressão hidrostática da coluna sobre esse ponto.
Definições e símbolos:
  • \gamma é o peso específico ( \gamma=\rho g), onde \rho é a densidade e g a aceleração da gravidade.
  • \gamma_w e \gamma_o são os pesos específicos da água e do óleo, respectivamente.
  • \gamma_{\text{Hg}} é o peso específico do mercúrio.
  • h_w e h_o são as alturas das colunas de água e óleo sobre o mercúrio (já dadas).
  • \Delta h_{\text{Hg}} será a diferença vertical entre as superfícies do mercúrio nas duas colunas (altura da superfície do mercúrio no ramo do óleo menos a do ramo da água).
Equações fundamentais (sem pular etapas):
  • Pressão no ponto de interface água–mercúrio (lado água): P_L = P_{\text{atm}} + \gamma_w h_w.
  • Pressão no ponto de interface óleo–mercúrio (lado óleo): P_R = P_{\text{atm}} + \gamma_o h_o.
  • A diferença P_L-P_R é suportada pela diferença de altura na coluna de mercúrio entre esses dois pontos: P_L-P_R = \gamma_{\text{Hg}}\Delta h_{\text{Hg}}.
Substituindo:
\gamma_w h_w - \gamma_o h_o = \gamma_{\text{Hg}}\Delta h_{\text{Hg}}.
Agora relacionamos isso com a diferença entre as superfícies livres. Chamando a altura da superfície livre da água de y_w e a do óleo de y_o, temos
y_w = y_{L,\text{interface}} + h_w, \qquad y_o = y_{R,\text{interface}} + h_o.
Como \Delta h_{\text{Hg}} = y_{R,\text{interface}}-y_{L,\text{interface}}, a diferença entre as superfícies livres é
\Delta = y_w-y_o = h_w - h_o - \Delta h_{\text{Hg}}.
Substituindo \Delta h_{\text{Hg}} da equação anterior obtemos a fórmula prática:
\Delta = h_w - h_o - \frac{\gamma_w h_w - \gamma_o h_o}{\gamma_{\text{Hg}}}.
Observação útil: como \gamma=\rho g, o fator g aparece em todos os termos e cancela; podemos trabalhar em densidades:
\Delta = h_w - h_o - \frac{\rho_w h_w - \rho_o h_o}{\rho_{\text{Hg}}}.

Passo 3

Colocar números (vou usar densidades típicas):
  • Densidade da água: \rho_w=1000\\ \text{kg/m}^3.
  • Densidade do óleo: \rho_o=0{,}80\cdot\rho_w=0{,}80\cdot1000=800\\ \text{kg/m}^3 (usei o dado do enunciado).
  • Densidade do mercúrio: \rho_{\text{Hg}}=13{,}6\cdot\rho_w=13{,}6\cdot1000=13\,600\\ \text{kg/m}^3 (valor padrão do mercúrio).
  • Alturas: h_w=0,75\\ \text{m} e h_o=0,45\\ \text{m}.
Calcular o numerador \rho_w h_w - \rho_o h_o:
\rho_w h_w - \rho_o h_o = 1000\cdot0,75 - 800\cdot0,45 = 750 - 360 = 390.
Calcular \Delta h_{\text{Hg}}:
\Delta h_{\text{Hg}} = \frac{390}{13\,600} \approx 0,028676\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a diferença entre as superfícies livres:
\Delta = h_w - h_o - \Delta h_{\text{Hg}} = 0,75 - 0,45 - 0,028676 = 0,271324\\ \text{m}.
Converter para milímetros (já que dados iniciais estavam em mm):
\Delta \approx 271,3\\ \text{mm}.
Interpretação rápida e motivadora: a água fica mais alta que o óleo; a diferença é aproximadamente 271{,}3\\ \text{mm}. Nada de pânico — a lógica foi só equilibrar pressões e lembrar que o mercúrio, por ser bem denso, só desloca um pouco.

Resposta

271{,}3\\ \text{mm}

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