Um tubo em “U”, cujas extremidades se abrem na atmosfera, está cheio de mercúrio na base. Num ramo, uma coluna d’água eleva-se 750 mm acima do mercúrio, no outro, uma coluna de óleo (peso específico relativo
) tem 450 mm acima do mercúrio. Qual a diferença de altura entre as superfícies livres de água e óleo?
Passo 1
O enunciado dá um tubo em U, aberto em ambas as extremidades (pressão atmosférica em cada superfície livre), com mercúrio na base. As informações relevantes são (peguei esses números do enunciado):
- Coluna de água:
acima do mercúrio. - Coluna de óleo:
acima do mercúrio. - Peso específico relativo do óleo em relação à água:
. Isto significa que a densidade do óleo é vezes a densidade da água.
O que o problema pede:
- Calcular a diferença de altura entre as superfícies livres de água e óleo, isto é
.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (aula curtinha e prática):
- Em equilíbrio estático, a pressão em um mesmo nível horizontal dentro do mesmo líquido é a mesma.
- As superfícies livres estão expostas à mesma pressão atmosférica
. A pressão no ponto de contato entre cada líquido leve (água ou óleo) e o mercúrio é a pressão atmosférica acrescida da pressão hidrostática da coluna sobre esse ponto.
Definições e símbolos:
-
é o peso específico ( ), onde é a densidade e a aceleração da gravidade. -
e são os pesos específicos da água e do óleo, respectivamente. -
é o peso específico do mercúrio. -
e são as alturas das colunas de água e óleo sobre o mercúrio (já dadas). -
será a diferença vertical entre as superfícies do mercúrio nas duas colunas (altura da superfície do mercúrio no ramo do óleo menos a do ramo da água).
Equações fundamentais (sem pular etapas):
- Pressão no ponto de interface água–mercúrio (lado água):
- Pressão no ponto de interface óleo–mercúrio (lado óleo):
- A diferença
é suportada pela diferença de altura na coluna de mercúrio entre esses dois pontos:
Substituindo:
Agora relacionamos isso com a diferença entre as superfícies livres. Chamando a altura da superfície livre da água de
e a do óleo de
, temos
Como
, a diferença entre as superfícies livres é
Substituindo
da equação anterior obtemos a fórmula prática:
Observação útil: como
, o fator
aparece em todos os termos e cancela; podemos trabalhar em densidades:
Passo 3
Colocar números (vou usar densidades típicas):
- Densidade da água:
. - Densidade do óleo:
(usei o dado do enunciado). - Densidade do mercúrio:
(valor padrão do mercúrio). - Alturas:
e .
Calcular o numerador
:
Calcular
:
Passo 4
Calcular a diferença entre as superfícies livres:
Converter para milímetros (já que dados iniciais estavam em mm):
Interpretação rápida e motivadora: a água fica mais alta que o óleo; a diferença é aproximadamente
. Nada de pânico — a lógica foi só equilibrar pressões e lembrar que o mercúrio, por ser bem denso, só desloca um pouco.