Um tubo (diâmetro =914 mm ) é utilizado para transportar ar num túnel de vento. Um teste do equipamento mostrou que a queda de pressão do escoamento de ar num trecho de tubo com 457,2 m é 38,1 mm de coluna dágua quando a vazão no tubo é 4,25 m^3 / s. Qual é o valor do fator de atrito neste escoamento? Qual a dimensão aproximada da rugosidade equivalente encontrada na superfície interna deste tubo?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte:
  • Temos um tubo de diâmetro D = 914 mm (ou 0,914 m) e comprimento L = 457,2 m.
  • O ar escoa nesse tubo com vazão Q = 4,25 m^3/s e, ao longo desse trecho, a queda de pressão medida foi de 38,1 mm de coluna d’água.
    Precisamos descobrir:
  1. O fator de atrito f desse escoamento.
  2. A rugosidade equivalente epsilon da parede interna.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Conversão de carga de fluido ( De em mmH₂O) em queda de pressão ( De em Pa).
  • Equação de Darcy–Weisbach para escoamento em duto.
  • Cálculo de velocidade média a partir da vazão.
  • Cálculo do número de Reynolds Re.
  • Equação de Colebrook para relacionar f, Re e rugosidade relativa epsilon/D.
O que vamos precisar:
  • Área da seção transversal do tubo, A = pi D^24.
  • Conversão De.
  • Equação de Darcy–Weisbach De
    - Valor típico das propriedades do ar (20 °C): rho = 1,2 kg/m^3 e mu = 1,8times10^-5 Pa·s.
    - Equação de Colebrook 1raiz f = -2log10!l(epsilon/D3,7 + 2,51Re,raiz fr),

Passo 2

Calcular a área e a velocidade média:
  1. Área:
A = pi D^24 = pi, (0,914)^24 approx 0,656 m^2
2) Velocidade média:
V = QA = 4,250,656 approx 6,48 m/s

Passo 3

Converter a queda de 38,1 mm de coluna d’água em pressão (Pa):
  • Primeiro, 38,1 mmH2O = 0,0381 mH2O.
  • Como De, usando rhoágua=1000 kg/m^3á e g=9,81 m/s^2,
De

Passo 4

Usar Darcy–Weisbach para encontrar f:
De
Substituindo rho=1,2 kg/m^3, V=6,48 m/s, D=0,914 m, L=457,2 m e De:
$$f = \frac{373{,}8}{\tfrac12\cdot1{,}2\cdot6{,}48^2},\frac{0{,}914}{457{,}2}
\approx 0{,}030,. $$

Passo 5

Calcular o número de Reynolds Re = dfracrho,V,Dmu:
$$Re = \frac{1{,}2\cdot6{,}48\cdot0{,}914}{1{,}8\times10^{-5}}
\approx 3{,}95\times10^5,. $$
Isso confirma escoamento turbulento (Re≫4000).

Passo 6

Agora, a rugosidade epsilon pela equação de Colebrook:
1raiz f = -2log10!l(epsilon/D3,7 + 2,51Re,raiz fr)
A gente isola epsilon/D:
1) Seja X = dfracepsilon/D3,7 + dfrac2,51Reraiz f. Então
$$\frac{1}{\sqrt f} = -2\log_{10}X
;\Longrightarrow;
\log_{10}X = -\frac{1}{2\sqrt f}
;\Longrightarrow;
X = 10^{-\tfrac{1}{2\sqrt f}},. 1raiz f = -2log10X ;Longrightarrow; log10X = -12raiz f ;Longrightarrow; X = 10^-tfrac12raiz f, í\frac{\epsilon}{D} = 3{,}7\Bigl(10^{-\tfrac{1}{2\sqrt f}} - \frac{2{,}51}{Re\sqrt f}\Bigr).$$
  1. Substituindo epsilonD = 3,7l(10^-tfrac12raiz f - 2,51Reraiz fr), f=0,03 e raiz f=0,1732:
  • Re=3,95times10^5
  • 10^-tfrac12raiz f = 10^-2,887 approx 1,30times10^-3
    Logo
dfrac2,51Reraiz f approx dfrac2,513,95times10^5cdot0,1732 approx 3,7times10^-5
E aí epsilonD = 3,7l(1,30times10^-3 - 3,7times10^-5r) approx 3,7cdot1,26times10^-3 approx 4,66times10^-3

Resposta

  • Fator de atrito: f approx 0,030.
  • Rugosidade equivalente: epsilon approx 4,3times10^-3 m (≈4,3 mm).

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