8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm . Se transportar água corrente à pressão de 0,42 \mathrm{MPa}, determine o estado de tensão nas paredes do tubo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o estado de tensão nas paredes de um tubo (extremidade aberta) que transporta água sob pressão. Dados fornecidos:
  • Diâmetro interno: D_i = 100\\ \text{mm}.
  • Espessura da parede: t = 5\\ \text{mm}.
  • Pressão interna (água): p = 0{,}42\\ \text{MPa}.
    O que se pede (explicitando as grandezas que vamos buscar):
  • As tensões principais na parede do tubo: tensão circunferencial (hoop), tensão longitudinal (axial) e a tensão radial através da espessura (valores na superfície interna e externa, ou distribuição).
    Vou usar esses dados sem pedir nada adicional.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que gera cada tensão (aula curta e intuitiva).
  • A pressão interna p empurra as paredes do tubo para fora, produzindo uma tensão no sentido circunferencial (tensão “hoop” ou \sigma_\theta). Imagine cortar o tubo longitudinalmente e ver a tendência das metades a se abrirem — é a tensão circunferencial.
  • A mesma pressão, se houver tampas/fechamento nas extremidades, empurra as tampas para fora e isso é equilibrado pelas paredes gerando uma tensão longitudinal (axial) \sigma_z. Se as extremidades estão abertas, não há tampa para equilibrar essa força, então essa componente desaparece (explico com equilíbrio no próximo passo).
  • A tensão radial \sigma_r é a componente normal à espessura: no interior da parede, a superfície interna está comprimida pela pressão ( \sigma_r negativo na superfície interna) e na superfície externa a pressão é a atmosférica (podemos tomar como zero).

Passo 3

Derivação das fórmulas para um cilindro fino (derivação balanceada, passo a passo).
Vamos assumir a aproximação de casca fina (“thin-walled”) quando a espessura é pequena comparada ao raio média. Definições:
  • Raio interno: r_i = \dfrac{D_i}{2}.
  • Espessura: t.
    Para uma casca fina, toma-se o raio médio aproximadamente igual ao raio interno (ou r_m \approx r_i) quando t é pequeno.
  1. Fórmula da tensão circunferencial (hoop), derivação por equilíbrio de forças num semicírculo:
  • Considere um comprimento unitário L=1 do tubo. A força resultante que tende a separar as metades devido à pressão interna é igual à pressão vezes a área projetada igual a p\cdot 2 r_i \cdot L (mais formal: área projetada em radial para um segmento é 2 r_i L).
  • Essa força é equilibrada pela tensão circunferencial atuando nas duas paredes cortadas; resultante de tração nas paredes: 2 t L \sigma_\theta.
  • Igualando forças:
2 t L \sigma_\theta = p \cdot 2 r_i L
Cancelando 2L:
\sigma_\theta = \dfrac{p\, r_i}{t}.
  1. Fórmula da tensão longitudinal (axial) quando as extremidades são fechadas:
  • Para um comprimento L, a pressão sobre a área da seção transversal cria força p \cdot \pi r_i^2 que é equilibrada pela tensão axial distribuída na parede, cuja área resistente é aproximadamente 2\pi r_i t.
  • Igualando:
2\pi r_i t \sigma_z = p \pi r_i^2
Cancelando \pi r_i:
\sigma_z = \dfrac{p\, r_i}{2 t}.
Observação importante (aplicação ao nosso caso): essa fórmula vale quando há tampas/fechamento (ou seja, a pressão é contida pelo tubo nas extremidades). No enunciado o tubo é de “extremidade aberta”: não há tampa para receber a força p\pi r_i^2. Assim, não existe esse esforço axial gerado pela pressão interna — logo, para o caso de extremidades abertas:
\sigma_z = 0.
  1. Tensão radial:
  • A tensão radial \sigma_r varia através da espessura do valor interno -p (compressivo) até o valor externo (normalmente 0 se a pressão externa é atmosférica). Para casca fina essa variação é aproximada linear e de magnitude pequena comparada a \sigma_\theta, então normalmente usamos os valores de superfície:
\sigma_r(r=r_i) = -p,\qquad \sigma_r(r=r_o)=0,
onde r_o = r_i + t. (Sinal: compressão tomada negativa.)

Passo 4

Verificação da hipótese de casca fina (pra saber se podemos usar as fórmulas simples).
  • Calcule r_i e a razão r_i/t:
r_i = \dfrac{D_i}{2} = \dfrac{100\\ \text{mm}}{2} = 50\\ \text{mm}.
\dfrac{r_i}{t} = \dfrac{50\\ \text{mm}}{5\\ \text{mm}} = 10.
Regra prática: se r/t \gtrsim 10 admite-se a aproximação de casca fina. Aqui r/t=10, na fronteira, mas aceitável para usar as fórmulas acima com cautela (resultado será uma boa aproximação). Se fosse requerido, poderia usar soluções de Lame (espessura significativa), mas não é necessário aqui.

Passo 5

Cálculo numérico da tensão circunferencial \sigma_\theta.
Usando a fórmula \sigma_\theta = \dfrac{p\, r_i}{t}. Converter unidades consistentemente (aqui podemos usar mm e MPa diretamente porque razão radius/thickness é adimensional e MPa·mm/mm = MPa):
  • p = 0{,}42\\ \text{MPa},
  • r_i = 50\\ \text{mm},
  • t = 5\\ \text{mm}.
\sigma_\theta = \dfrac{0{,}42\\ \text{MPa}\times 50\\ \text{mm}}{5\\ \text{mm}} = 0{,}42\times \dfrac{50}{5}\\ \text{MPa} = 0{,}42\times 10\\ \text{MPa} = 4{,}2\\ \text{MPa}.
Interpretação: \sigma_\theta = 4{,}2\\ \text{MPa} em tração (positivo, pois a parede é esticada circunferencialmente).

Passo 6

Cálculo da tensão axial \sigma_z para tubo de extremidade aberta.
Como explicado no Passo 3, para extremidades abertas não há tampa para equilibrar a força p\pi r^2. Portanto a pressão interna não gera tensão axial de contenção no corpo do tubo:
\sigma_z = 0\\ \text{MPa}.
(Observação: se o tubo estivesse fechado nas extremidades, teríamos \sigma_z = \dfrac{p r_i}{2 t} = 2{,}1\\ \text{MPa}, metade da tensão circunferencial — isso só para referência.)

Passo 7

Valores da tensão radial \sigma_r nas superfícies interna e externa.
  • Na superfície interna: \sigma_r(r_i) = -p = -0{,}42\\ \text{MPa} (compressivo).
  • Na superfície externa: \sigma_r(r_o) = 0\\ \text{MPa} (pressão atmosférica tomada como referência).
    Em casca fina normalmente negligencia-se \sigma_r quando comparada com \sigma_\theta, mas consta nos resultados.

Passo 8

Resumo físico e interpretação final (um empurrão motivacional).
  • O maior esforço que o plástico vai sentir é a tensão circunferencial de 4{,}2\\ \text{MPa}. Isso é a tensão que mais preocupa em tubos sob pressão interna: eles tendem a “abrir” na direção circumferencial.
  • A tensão axial é nula porque o tubo tem extremidades abertas (sem tampa). Se o tubo fosse fechado, haveria também tensão axial (metade da circunferencial).
  • A tensão radial é compressiva na face interna igual à pressão e zero na face externa.

Resposta

\sigma_\theta = 4{,}2\\ \text{MPa} (tensão circunferencial, tração)
\sigma_z = 0\\ \text{MPa} (tensão axial, extremidades abertas)
\sigma_r(r=r_i) = -0{,}42\\ \text{MPa} (tensão radial na superfície interna, compressão)
\sigma_r(r=r_o) = 0\\ \text{MPa} (tensão radial na superfície externa)

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