8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm . Se transportar água corrente à pressão de
, determine o estado de tensão nas paredes do tubo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o estado de tensão nas paredes de um tubo (extremidade aberta) que transporta água sob pressão. Dados fornecidos:
- Diâmetro interno:
. - Espessura da parede:
. - Pressão interna (água):
.
O que se pede (explicitando as grandezas que vamos buscar): - As tensões principais na parede do tubo: tensão circunferencial (hoop), tensão longitudinal (axial) e a tensão radial através da espessura (valores na superfície interna e externa, ou distribuição).
Vou usar esses dados sem pedir nada adicional.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que gera cada tensão (aula curta e intuitiva).
- A pressão interna
empurra as paredes do tubo para fora, produzindo uma tensão no sentido circunferencial (tensão “hoop” ou ). Imagine cortar o tubo longitudinalmente e ver a tendência das metades a se abrirem — é a tensão circunferencial. - A mesma pressão, se houver tampas/fechamento nas extremidades, empurra as tampas para fora e isso é equilibrado pelas paredes gerando uma tensão longitudinal (axial)
. Se as extremidades estão abertas, não há tampa para equilibrar essa força, então essa componente desaparece (explico com equilíbrio no próximo passo). - A tensão radial
é a componente normal à espessura: no interior da parede, a superfície interna está comprimida pela pressão ( negativo na superfície interna) e na superfície externa a pressão é a atmosférica (podemos tomar como zero).
Passo 3
Derivação das fórmulas para um cilindro fino (derivação balanceada, passo a passo).
Vamos assumir a aproximação de casca fina (“thin-walled”) quando a espessura é pequena comparada ao raio média. Definições:
Vamos assumir a aproximação de casca fina (“thin-walled”) quando a espessura é pequena comparada ao raio média. Definições:
- Raio interno:
. - Espessura:
.
Para uma casca fina, toma-se o raio médio aproximadamente igual ao raio interno (ou) quando é pequeno.
- Fórmula da tensão circunferencial (hoop), derivação por equilíbrio de forças num semicírculo:
- Considere um comprimento unitário
do tubo. A força resultante que tende a separar as metades devido à pressão interna é igual à pressão vezes a área projetada igual a (mais formal: área projetada em radial para um segmento é ). - Essa força é equilibrada pela tensão circunferencial atuando nas duas paredes cortadas; resultante de tração nas paredes:
. - Igualando forças:
Cancelando
:
- Fórmula da tensão longitudinal (axial) quando as extremidades são fechadas:
- Para um comprimento
, a pressão sobre a área da seção transversal cria força que é equilibrada pela tensão axial distribuída na parede, cuja área resistente é aproximadamente . - Igualando:
Cancelando
:
Observação importante (aplicação ao nosso caso): essa fórmula vale quando há tampas/fechamento (ou seja, a pressão é contida pelo tubo nas extremidades). No enunciado o tubo é de “extremidade aberta”: não há tampa para receber a força
. Assim, não existe esse esforço axial gerado pela pressão interna — logo, para o caso de extremidades abertas:
- Tensão radial:
- A tensão radial
varia através da espessura do valor interno (compressivo) até o valor externo (normalmente se a pressão externa é atmosférica). Para casca fina essa variação é aproximada linear e de magnitude pequena comparada a , então normalmente usamos os valores de superfície:
onde
. (Sinal: compressão tomada negativa.)
Passo 4
Verificação da hipótese de casca fina (pra saber se podemos usar as fórmulas simples).
- Calcule
e a razão :
Regra prática: se
admite-se a aproximação de casca fina. Aqui
, na fronteira, mas aceitável para usar as fórmulas acima com cautela (resultado será uma boa aproximação). Se fosse requerido, poderia usar soluções de Lame (espessura significativa), mas não é necessário aqui.
Passo 5
Cálculo numérico da tensão circunferencial
.
Usando a fórmula . Converter unidades consistentemente (aqui podemos usar mm e MPa diretamente porque razão radius/thickness é adimensional e MPa·mm/mm = MPa):
Usando a fórmula
-
, -
, -
.
Interpretação:
em tração (positivo, pois a parede é esticada circunferencialmente).
Passo 6
Cálculo da tensão axial
para tubo de extremidade aberta.
Como explicado no Passo 3, para extremidades abertas não há tampa para equilibrar a força . Portanto a pressão interna não gera tensão axial de contenção no corpo do tubo:
Como explicado no Passo 3, para extremidades abertas não há tampa para equilibrar a força
(Observação: se o tubo estivesse fechado nas extremidades, teríamos
, metade da tensão circunferencial — isso só para referência.)
Passo 7
Valores da tensão radial
nas superfícies interna e externa.
- Na superfície interna:
(compressivo). - Na superfície externa:
(pressão atmosférica tomada como referência).
Em casca fina normalmente negligencia-sequando comparada com , mas consta nos resultados.
Passo 8
Resumo físico e interpretação final (um empurrão motivacional).
- O maior esforço que o plástico vai sentir é a tensão circunferencial de
. Isso é a tensão que mais preocupa em tubos sob pressão interna: eles tendem a “abrir” na direção circumferencial. - A tensão axial é nula porque o tubo tem extremidades abertas (sem tampa). Se o tubo fosse fechado, haveria também tensão axial (metade da circunferencial).
- A tensão radial é compressiva na face interna igual à pressão e zero na face externa.