'8.8. A cinta de aço A-36 tem 50 mm de largura e está presa ao redor do cilindro rígido liso. Se os parafusos forem apertados de modo que a tração neles seja 2 kN , determine a tensão normal na cinta, a pressão exercida sobre o cilindro e a distância até onde metade da cinta estica.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • determinar a tensão normal na cinta (tensão axial no material da cinta);
  • determinar a pressão exercida sobre o cilindro pela cinta;
  • determinar a distância ao longo da cinta até onde ocorre metade da sua elongação total (isto é, o ponto mediano da elongação).
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura e do enunciado):
  • tração nos parafusos (força de tração na cinta): T = 2{,}0\\ \text{kN} = 2000\\ \text{N};
  • largura da cinta: b = 50\\ \text{mm};
  • espessura da cinta: t = 3\\ \text{mm};
  • diâmetro do cilindro: D = 200\\ \text{mm};
  • cilindro rígido e liso (isto implica que não há atrito que faça variar a tensão ao longo do contato).
Observações iniciais importantes (não vou resolver ainda, só organizar): a cinta tem seção retangular de área A=b\cdot t. Como o cilindro é liso, a tração T é a mesma em toda a cinta; a pressão normal sobre o cilindro pode ser encontrada a partir do equilíbrio radial de um elemento da cinta; a elongação por unidade de comprimento é uniforme ao longo da cinta (pois a tensão é uniforme), portanto metade da elongação ocorre sobre metade do comprimento total da cinta.

Passo 2

Calcular a tensão normal na cinta (tensão axial \sigma).
Conceito e fórmula usada:
  • Tensão normal axial é a força interna dividida pela área da seção transversal. Isso vem da definição básica de tensão:
\sigma = \frac{T}{A},
onde \sigma é a tensão (unidade, por exemplo, \text{N}/\text{mm}^2 ou \text{MPa}), T é a força axial (N) e A é a área da seção (mm ^2 ou m ^2). Aqui a área da seção retangular da cinta é A=b\cdot t.
Cálculo passo a passo:
  • área da seção:
A = b\cdot t = 50\\ \text{mm}\times 3\\ \text{mm} = 150\\ \text{mm}^2.
  • tensão:
\sigma = \frac{T}{A} = \frac{2000\\ \text{N}}{150\\ \text{mm}^2} = \frac{2000}{150}\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 13{,}333\ldots\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Como 1\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 1\\ \text{MPa}, então
\sigma \approx 13{,}33\\ \mathrm{MPa}.
Breve comentário didático: esse procedimento é direto — força dividida por área — e não depende do comprimento da peça. Se quiser relacionar com deformação (não pedido aqui), usaríamos a lei de Hooke \varepsilon=\sigma/E.

Passo 3

Determinar a pressão normal p exercida sobre o cilindro.
Conceito físico e derivação:
  • Considere um elemento da cinta que cobre um pequeno arco do cilindro subtendido por um ângulo \mathrm{d}\theta. Em equilíbrio radial, a soma das componentes radiais das forças de tração nas duas extremidades do arco deve ser balanceada pela força resultante da pressão normal atuando sobre a face interna do arco.
  • Para um arco pequeno \mathrm{d}\theta a soma das componentes radiais das duas tensões dá aproximadamente T\,\mathrm{d}\theta (é a aproximação via expansão para pequeno ângulo: 2T\sin(\mathrm{d}\theta/2)\approx T\mathrm{d}\theta).
  • A força gerada pela pressão sobre o arco é p vezes a área projetada: p\cdot (b\cdot r\,\mathrm{d}\theta), onde r é o raio do cilindro e b é a largura da cinta (a área do anel interno correspondente ao arco é b\cdot r\,\mathrm{d}\theta).
Equilíbrio radial (igualando as duas forças):
T\,\mathrm{d}\theta = p\cdot (b\,r\,\mathrm{d}\theta).
Cancelando \mathrm{d}\theta (que é arbitrário) obtemos a relação simples
p = \frac{T}{b\,r}.
Agora os valores numéricos:
  • raio r = \dfrac{D}{2} = \dfrac{200\\ \text{mm}}{2} = 100\\ \text{mm}.
  • substituir:
p = \frac{2000\\ \text{N}}{50\\ \text{mm}\times 100\\ \text{mm}} = \frac{2000}{5000}\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 0{,}4\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Convertendo para \mathrm{MPa}:
p = 0{,}4\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: a fórmula p=T/(b r) é útil e intuitiva — maior tensão T gera mais pressão; maior largura b ou maior raio r dilui a pressão (para mesma T a pressão diminui).

Passo 4

Determinar a distância até onde metade da cinta estica.
Entendimento do problema e argumento físico:
  • A cinta está sujeita a uma mesma tração T em toda a sua extensão (isto é consequência do cilindro ser liso: não há variação de tensão por atrito).
  • Para material elástico linear, a deformação axial por unidade de comprimento é \varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} (Lei de Hooke), que depende apenas da tensão \sigma e do módulo de Young E. Como \sigma é constante ao longo da cinta, \varepsilon é constante também.
  • Assim, a elongação por unidade de comprimento é constante ao longo da cinta. Portanto, metade da elongação total acumulada ao longo de toda a cinta ocorre exatamente sobre metade do comprimento total da cinta.
Cálculo do comprimento total e da metade:
  • comprimento total da cinta em torno do cilindro (circunferência):
L = \pi D = \pi\cdot 200\\ \text{mm} = 200\pi\\ \text{mm}.
  • metade desse comprimento (distância até onde metade da elongação ocorre):
s = \frac{L}{2} = \frac{\pi D}{2} = 100\pi\\ \text{mm} \approx 314{,}16\\ \text{mm}.
Comentário prático: note que essa conclusão independe do módulo E ou do valor numérico da elongação total; depende só do fato de tensão e, portanto, deformação, serem uniformes ao longo do comprimento.

Passo 5

Verificação rápida das unidades e resultados (checagem):
  • tensão \sigma em \mathrm{MPa} faz sentido para aço e está bem abaixo do limite de escoamento do A-36, o que confirma ordem de grandeza razoável;
  • pressão p em \mathrm{MPa} compatível com T,b,r;
  • distância s em mm corresponde a metade da circunferência.

Resposta

\sigma = 13{,}33\\ \mathrm{MPa}
p = 0{,}4\\ \mathrm{MPa}
s = 100\pi\\ \text{mm} \approx 314{,}16\\ \text{mm}

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