'8.8. A cinta de aço A-36 tem 50 mm de largura e está presa ao redor do cilindro rígido liso. Se os parafusos forem apertados de modo que a tração neles seja 2 kN , determine a tensão normal na cinta, a pressão exercida sobre o cilindro e a distância até onde metade da cinta estica.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- determinar a tensão normal na cinta (tensão axial no material da cinta);
- determinar a pressão exercida sobre o cilindro pela cinta;
- determinar a distância ao longo da cinta até onde ocorre metade da sua elongação total (isto é, o ponto mediano da elongação).
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura e do enunciado):
- tração nos parafusos (força de tração na cinta):
; - largura da cinta:
; - espessura da cinta:
; - diâmetro do cilindro:
; - cilindro rígido e liso (isto implica que não há atrito que faça variar a tensão ao longo do contato).
Observações iniciais importantes (não vou resolver ainda, só organizar): a cinta tem seção retangular de área
. Como o cilindro é liso, a tração
é a mesma em toda a cinta; a pressão normal sobre o cilindro pode ser encontrada a partir do equilíbrio radial de um elemento da cinta; a elongação por unidade de comprimento é uniforme ao longo da cinta (pois a tensão é uniforme), portanto metade da elongação ocorre sobre metade do comprimento total da cinta.
Passo 2
Calcular a tensão normal na cinta (tensão axial
).
Conceito e fórmula usada:
- Tensão normal axial é a força interna dividida pela área da seção transversal. Isso vem da definição básica de tensão:
onde
é a tensão (unidade, por exemplo,
ou
),
é a força axial (N) e
é a área da seção (mm
ou m
). Aqui a área da seção retangular da cinta é
.
Cálculo passo a passo:
- área da seção:
- tensão:
Como
, então
Breve comentário didático: esse procedimento é direto — força dividida por área — e não depende do comprimento da peça. Se quiser relacionar com deformação (não pedido aqui), usaríamos a lei de Hooke
.
Passo 3
Determinar a pressão normal
exercida sobre o cilindro.
Conceito físico e derivação:
- Considere um elemento da cinta que cobre um pequeno arco do cilindro subtendido por um ângulo
. Em equilíbrio radial, a soma das componentes radiais das forças de tração nas duas extremidades do arco deve ser balanceada pela força resultante da pressão normal atuando sobre a face interna do arco. - Para um arco pequeno
a soma das componentes radiais das duas tensões dá aproximadamente (é a aproximação via expansão para pequeno ângulo: ). - A força gerada pela pressão sobre o arco é
vezes a área projetada: , onde é o raio do cilindro e é a largura da cinta (a área do anel interno correspondente ao arco é ).
Equilíbrio radial (igualando as duas forças):
Cancelando
(que é arbitrário) obtemos a relação simples
Agora os valores numéricos:
- raio
. - substituir:
Convertendo para
:
Comentário didático: a fórmula
é útil e intuitiva — maior tensão
gera mais pressão; maior largura
ou maior raio
dilui a pressão (para mesma
a pressão diminui).
Passo 4
Determinar a distância até onde metade da cinta estica.
Entendimento do problema e argumento físico:
- A cinta está sujeita a uma mesma tração
em toda a sua extensão (isto é consequência do cilindro ser liso: não há variação de tensão por atrito). - Para material elástico linear, a deformação axial por unidade de comprimento é
(Lei de Hooke), que depende apenas da tensão e do módulo de Young . Como é constante ao longo da cinta, é constante também. - Assim, a elongação por unidade de comprimento é constante ao longo da cinta. Portanto, metade da elongação total acumulada ao longo de toda a cinta ocorre exatamente sobre metade do comprimento total da cinta.
Cálculo do comprimento total e da metade:
- comprimento total da cinta em torno do cilindro (circunferência):
- metade desse comprimento (distância até onde metade da elongação ocorre):
Comentário prático: note que essa conclusão independe do módulo
ou do valor numérico da elongação total; depende só do fato de tensão e, portanto, deformação, serem uniformes ao longo do comprimento.
Passo 5
Verificação rápida das unidades e resultados (checagem):
- tensão
em faz sentido para aço e está bem abaixo do limite de escoamento do A-36, o que confirma ordem de grandeza razoável; - pressão
em compatível com ; - distância
em mm corresponde a metade da circunferência.