- O tubo horizontal ilustrado abaixo possui água fluindo no seu interior a uma vazão volumétrica de
. Calcule
a) A velocidade de escoamento na parte mais larga e na parte mais estreita; b) A diferença de pressão entre as duas partes; c) A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existentes no tubo em U .
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a) A velocidade de escoamento na parte mais larga e na parte mais estreita; b) A diferença de pressão entre as duas partes; c) A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existentes no tubo em U .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo horizontal por onde passa água com uma vazão volumétrica de
. Precisamos calcular:
a) A velocidade da água na parte mais larga e na parte mais estreita do tubo;
b) A diferença de pressão entre essas duas partes;
c) A diferença de altura entre os níveis de mercúrio no tubo em U.
Para isso, vamos usar:
- Equação da continuidade para relacionar as velocidades nas diferentes seções do tubo.
- Equação de Bernoulli para encontrar a diferença de pressão.
- Princípio de Pascal para relacionar a diferença de pressão com a diferença de altura do mercúrio no tubo em U.
Passo 2
Parte a: Velocidade de escoamento nas partes larga e estreita
Primeiro, vamos lembrar da equação da continuidade, que diz que a vazão volumétrica $ Q $ é igual ao produto da área da seção transversal $ A $ pela velocidade $ v $:
Como o tubo tem uma parte mais larga e uma mais estreita, as áreas das seções são diferentes, o que faz com que as velocidades também sejam diferentes para manter a vazão constante.
Vamos chamar:
- $ A_1 $ e $ v_1 $ para a parte larga;
- $ A_2 $ e $ v_2 $ para a parte estreita.
A equação da continuidade fica:
Mas como não temos as áreas, podemos relacionar as velocidades inversamente proporcionais aos diâmetros se assumirmos que as formas são circulares e conhecemos o diâmetro ou, neste caso, trabalhar com as áreas diretamente.
No entanto, como o enunciado não fornece dimensões específicas, vamos supor que a área na parte larga seja maior que na estreita, implicando que a velocidade na parte estreita será maior.
Passo 3
Parte b: Diferença de pressão entre as duas partes
Aqui, usamos a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos de um fluido em escoamento:
Como o tubo é horizontal, as alturas $ h_1 $ e $ h_2 $ são iguais e se cancelam:
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão $ \Delta P = P_1 - P_2 $:
Passo 4
Parte c: Diferença de altura no tubo em U
A diferença de pressão medida por um manômetro em U com mercúrio relaciona a pressão com a diferença de altura $ \Delta h $ dos níveis de mercúrio:
Onde $ \rho_{Hg} $ é a densidade do mercúrio.
Passo 5
Cálculos Práticos
Vamos supor que conhecemos as áreas das seções ou que o diâmetro na parte larga é $ D_1 $ e na estreita é $ D_2 $. Contudo, sem valores específicos, vamos focar na relação qualitativa.
a) Velocidades:
Como $ A_1 > A_2 $, então $ v_1 < v_2 $.
b) Diferença de pressão:
Como $ v_2 > v_1 $, temos $ \Delta P > 0 $, ou seja, a pressão na parte larga é maior que na estreita.
c) Diferença de altura:
Usando a equação:
Resposta
a) As velocidades de escoamento são menores na parte mais larga e maiores na parte mais estreita do tubo.
b) A diferença de pressão entre as duas partes é dada por $ \Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) $.
c) A diferença de altura nos níveis de mercúrio no tubo em U é $ \Delta h = \frac{\Delta P}{\rho_{Hg} g} $.