Um tubo de latão (
) de diâmetro igual a 200 mm e espessura de 5 mm é usados para aquecer um fluido em
, que escoa em regime laminar em seu interior. Para tal aquecimento uma convecção forçada é desenvolvida no exterior do tubo e a relação adimensional do número de Nusselt para esse problema pode ser aproximada por:
Sabendo que Re é de 580 e que Pr é 9, Determine:
a) o calor necessário para manter a temperatura na parede interna de um tubo unitário em
.
b) Caso o tubo fosse envolvido com uma folha de cobre de 5 mm qual seria calor necessário?
a) o calor necessário para manter a temperatura na parede interna de um tubo unitário em
b) Caso o tubo fosse envolvido com uma folha de cobre de 5 mm qual seria calor necessário?
Passo 1
O enunciado e os dados (resumindo, sem resolver ainda):
- Material do tubo: latão com condutividade térmica
. - Diâmetro do tubo:
- Espessura da parede do tubo:
- O fluido a ser aquecido no interior alcança
(o enunciado diz que o tubo é usado para aquecer o fluido a essa temperatura). - No exterior faz-se convecção forçada cuja relação adimensional é dada por
com
e
.
- Perguntas:
(a) determinar o calor necessário para manter a temperatura na parede interna de um tubo unitário em;
(b) repetir o cálculo se o tubo for envolvido por uma folha de cobre de.
Observações importantes antes de calcular:
- Para calcular a taxa de calor (por unidade de comprimento — “tubo unitário” entende-se por padrão por unidade de comprimento, i.e.
do tubo) é preciso conhecer a diferença de temperatura entre a parede interna e o fluido externo que faz a convecção (temperatura do escoamento externo ) e também a condutividade térmica do meio externo (pois fornece via ). O enunciado não fornece explicitamente nem . - Vou então:
- montar a expressão geral (fórmula) que dá o calor por unidade de comprimento em função de
e (assim resolve-se o problema sem pedir dados extras); - calcular numericamente
(usando os e dados); - dar um exemplo numérico prático assumindo um valor razoável para
e (isto é útil para ver um número final). Vou informar claramente as suposições do exemplo. Se preferir outro ou outro fluido externo (outro ), diga e eu recalculo rápido.
- montar a expressão geral (fórmula) que dá o calor por unidade de comprimento em função de
Passo 2
Geometria e resistências térmicas (relembrando a abordagem física):
- Se o tubo tem diâmetro externo
e espessura , então: - raio externo do tubo (sem folha)
. - raio interno
- raio externo do tubo (sem folha)
- Quando se adiciona uma folha de cobre de espessura
ela envolve o tubo, portanto o novo raio externo será - A resistência térmica por unidade de comprimento (
) de cada trecho: - resistência convectiva externa (por unidade de comprimento):
- resistência por condução radial em uma casca cilíndrica entre raios
e (por unidade de comprimento):
- Rede de resistências (caso sem folha): convecção externa
em série com condução através da parede de latão . - Com folha de cobre: convecção externa
em série com condução na camada de cobre e com a condução no latão . - A taxa de calor por unidade de comprimento (potência por metro) quando a superfície interna está a
(aqui ) e o fluido externo tem temperatura é
onde
é a soma das resistências referentes ao caso considerado.
Passo 3
Calcular
com os dados fornecidos e obter a expressão do coeficiente de convecção
.
- Usando a correlação:
Substituindo
e
:
(Fazendo a conta)
- A partir de
o coeficiente convectivo é
Aqui
é a condutividade térmica do fluido externo (não fornecida). Mantemos
simbólico por enquanto; assim
Passo 4
Montar a expressão final das resistências e a fórmula geral de
por unidade de comprimento.
- Sem folha de cobre (caso a):
-
-
-
- Logo
-
- Com folha de cobre de espessura
(caso b): -
(usar para a condutividade do cobre). -
-
- Logo
-
- Observação importante: as fórmulas acima são válidas para potência por unidade de comprimento (W/m). Se desejar a potência total para um comprimento
, multiplique por .
Passo 5
Cálculos numéricos (exemplo prático). Como o enunciado não forneceu
nem
, faço os cálculos simbólicos e em seguida dou um exemplo numérico razoável para visualizar resultados:
- Usarei os valores geométricos já calculados:
- Tomarei valores típicos (assunções do exemplo):
- temperatura do escoamento externo (exemplo):
. Então - condutividade térmica do fluido externo: para ser consistente com
escolho um fluido tipo óleo leve com (valor típico aproximado). Se preferir outro fluido substitua e repita os passos. - condutividade do cobre:
(valor padrão).
- temperatura do escoamento externo (exemplo):
- Primeiro calcule
numérico com : - Agora as resistências (por metro):
-
-
- Soma:
- Logo, para
:
-
- Com a folha de cobre (usar
): -
-
-
- Logo:
-
- Interpretação rápida: com as suposições do exemplo, envolver o tubo com 5 mm de cobre aumentou a potência por metro de cerca de
. A razão é que o cobre reduz ligeiramente a resistência de condução e aumenta a área convectiva externa; porém a resistência convectiva externa ainda domina neste conjunto de parâmetros (h relativamente baixo), por isso o ganho não é enorme.
Passo 6
Resumo do que foi feito e como aplicar se quiser outro caso:
- Fórmulas gerais (por unidade de comprimento
):
- Se quiser um número diferente do meu exemplo (por exemplo outro
ou outro fluido externo com diferente ), basta dizer que eu recalculo os valores numéricos imediatamente.
Resposta
Caso numérico de exemplo (assumindo
,
,
, e
):
(a)
(b)
(a)
(b)