Um tubo de latão ( \mathrm{k}=101 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de diâmetro igual a 200 mm e espessura de 5 mm é usados para aquecer um fluido em 150^{\circ} \mathrm{C}, que escoa em regime laminar em seu interior. Para tal aquecimento uma convecção forçada é desenvolvida no exterior do tubo e a relação adimensional do número de Nusselt para esse problema pode ser aproximada por:
N u=0,023 \cdot R e^{0,8} \cdot \operatorname{Pr}^{0,3}
Sabendo que Re é de 580 e que Pr é 9, Determine:
a) o calor necessário para manter a temperatura na parede interna de um tubo unitário em 150^{\circ} \mathrm{C}.
b) Caso o tubo fosse envolvido com uma folha de cobre de 5 mm qual seria calor necessário?

Passo 1

O enunciado e os dados (resumindo, sem resolver ainda):
  • Material do tubo: latão com condutividade térmica \,k_{\text{latão}}=101\\ \mathrm{W/mK}ã.
  • Diâmetro do tubo: \,D=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede do tubo: \,t=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • O fluido a ser aquecido no interior alcança \,150^\circ\mathrm{C} (o enunciado diz que o tubo é usado para aquecer o fluido a essa temperatura).
  • No exterior faz-se convecção forçada cuja relação adimensional é dada por
Nu = 0{,}023\,Re^{0,8}\,Pr^{0,3},
com \,Re=580 e \,Pr=9.
  • Perguntas:
    (a) determinar o calor necessário para manter a temperatura na parede interna de um tubo unitário em \,150^\circ\mathrm{C};
    (b) repetir o cálculo se o tubo for envolvido por uma folha de cobre de \,5\\ \mathrm{mm}.
Observações importantes antes de calcular:
  • Para calcular a taxa de calor (por unidade de comprimento — “tubo unitário” entende-se por padrão por unidade de comprimento, i.e. 1\\ \mathrm{m} do tubo) é preciso conhecer a diferença de temperatura entre a parede interna e o fluido externo que faz a convecção (temperatura do escoamento externo \,T_\infty) e também a condutividade térmica do meio externo \,k_{\infty} (pois Nu fornece h via h=Nu\cdot k_{\infty}/D). O enunciado não fornece explicitamente \,T_\infty nem \,k_{\infty}.
  • Vou então:
    1. montar a expressão geral (fórmula) que dá o calor por unidade de comprimento em função de \,T_\infty e \,k_{\infty} (assim resolve-se o problema sem pedir dados extras);
    2. calcular numericamente \,Nu (usando os Re e Pr dados);
    3. dar um exemplo numérico prático assumindo um valor razoável para \,T_\infty e \,k_{\infty} (isto é útil para ver um número final). Vou informar claramente as suposições do exemplo. Se preferir outro \,T_\infty ou outro fluido externo (outro k_{\infty}), diga e eu recalculo rápido.

Passo 2

Geometria e resistências térmicas (relembrando a abordagem física):
  • Se o tubo tem diâmetro externo \,D=0{,}200\\ \mathrm{m} e espessura \,t=0{,}005\\ \mathrm{m}, então:
    • raio externo do tubo (sem folha) \,r_{o1} = D/2 = 0{,}100\\ \mathrm{m}.
    • raio interno \,r_i = r_{o1}-t = 0{,}100-0{,}005 = 0{,}095\\ \mathrm{m}.
  • Quando se adiciona uma folha de cobre de espessura \,5\\ \mathrm{mm} ela envolve o tubo, portanto o novo raio externo será \,r_{o2}=r_{o1}+0{,}005 = 0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • A resistência térmica por unidade de comprimento ( \mathrm{m} ) de cada trecho:
    • resistência convectiva externa (por unidade de comprimento):
    R_{\text{conv}} = \frac{1}{h\cdot 2\pi r_o}.
    • resistência por condução radial em uma casca cilíndrica entre raios r_a e r_b (por unidade de comprimento):
    R_{\text{cond}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi k}.
  • Rede de resistências (caso sem folha): convecção externa R_{\text{conv},1} em série com condução através da parede de latão R_{\text{cond,latão}}ã.
  • Com folha de cobre: convecção externa R_{\text{conv},2} em série com condução na camada de cobre R_{\text{cond,cu}} e com a condução no latão R_{\text{cond,latão}}ã.
  • A taxa de calor por unidade de comprimento (potência por metro) quando a superfície interna está a T_s (aqui 150^\circ\mathrm{C}) e o fluido externo tem temperatura T_\infty é
\dot q' = \frac{T_s - T_\infty}{R_{\text{total}}}
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências referentes ao caso considerado.

Passo 3

Calcular Nu com os dados fornecidos e obter a expressão do coeficiente de convecção h.
  • Usando a correlação:
Nu = 0{,}023\,Re^{0,8}\,Pr^{0,3}.
Substituindo \,Re=580 e \,Pr=9:
Nu = 0{,}023\cdot 580^{0,8}\cdot 9^{0,3}.
(Fazendo a conta)
580^{0,8}\approx 162{,}527,\qquad 9^{0,3}\approx 1{,}9337,
Nu \approx 0{,}023\cdot 162{,}527\cdot 1{,}9337 \approx 7{,}2366.
  • A partir de Nu o coeficiente convectivo é
h = \frac{Nu\cdot k_{\infty}}{D}.
Aqui \,k_{\infty} é a condutividade térmica do fluido externo (não fornecida). Mantemos k_{\infty} simbólico por enquanto; assim
h \approx \frac{7{,}2366\;k_{\infty}}{0{,}200} \approx 36{,}183\,k_{\infty}\qquad(\text{unidades: }\mathrm{W/(m^2K)}).

Passo 4

Montar a expressão final das resistências e a fórmula geral de \dot q' por unidade de comprimento.
  • Sem folha de cobre (caso a):
    • R_{\text{cond,latão}} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o1}}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{latão}}}.ãã
    • R_{\text{conv},1} = \dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o1}}.
    • R_{\text{total},1} = R_{\text{cond,latão}} + R_{\text{conv},1}.ã
    • Logo
    \dot q'_1 = \frac{T_s - T_\infty}{R_{\text{cond,latão}} + \dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o1}} }.ã
  • Com folha de cobre de espessura 0{,}005\\ \mathrm{m} (caso b):
    • R_{\text{cond,cu}} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o2}}{r_{o1}}\right)}{2\pi k_{\text{cu}}}. (usar k_{\text{cu}} para a condutividade do cobre).
    • R_{\text{conv},2} = \dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o2}}.
    • R_{\text{total},2} = R_{\text{cond,latão}} + R_{\text{cond,cu}} + R_{\text{conv},2}.ã
    • Logo
    \dot q'_2 = \frac{T_s - T_\infty}{R_{\text{cond,latão}} + R_{\text{cond,cu}} + \dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o2}} }.ã
  • Observação importante: as fórmulas acima são válidas para potência por unidade de comprimento (W/m). Se desejar a potência total para um comprimento L, multiplique por L.

Passo 5

Cálculos numéricos (exemplo prático). Como o enunciado não forneceu \,T_\infty nem \,k_{\infty}, faço os cálculos simbólicos e em seguida dou um exemplo numérico razoável para visualizar resultados:
  • Usarei os valores geométricos já calculados: r_i = 0{,}095\\ \mathrm{m},\qquad r_{o1}=0{,}100\\ \mathrm{m},\qquad r_{o2}=0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • Tomarei valores típicos (assunções do exemplo):
    • temperatura do escoamento externo (exemplo): T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}. Então \Delta T = T_s - T_\infty = 150-25 = 125\\ \mathrm{K}.
    • condutividade térmica do fluido externo: para ser consistente com \,Pr=9 escolho um fluido tipo óleo leve com \,k_{\infty}=0{,}13\\ \mathrm{W/mK} (valor típico aproximado). Se preferir outro fluido substitua \,k_{\infty} e repita os passos.
    • condutividade do cobre: k_{\text{cu}}\approx 401\\ \mathrm{W/mK} (valor padrão).
  • Primeiro calcule h numérico com k_{\infty}=0{,}13\\ \mathrm{W/mK}: h \approx 36{,}183\cdot k_{\infty} \approx 36{,}183\cdot 0{,}13 \approx 4{,}704\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Agora as resistências (por metro):
    • R_{\text{cond,latão}} = \dfrac{\ln(0{,}100/0{,}095)}{2\pi\cdot 101} \approx \dfrac{0{,}051293}{634{,}601} \approx 8{,}08\times 10^{-5}\\ \mathrm{K\cdot m/W}.ã
    • R_{\text{conv},1} = \dfrac{1}{4{,}704\cdot 2\pi\cdot 0{,}100} = \dfrac{1}{4{,}704\cdot 0{,}6283185}\approx 0{,}33823\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • Soma: R_{\text{total},1}\approx 0{,}33831\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • Logo, para \Delta T = 125\\ \mathrm{K}:
    \dot q'_1 = \frac{125}{0{,}33831}\approx 369{,}46\\ \mathrm{W/m}.
  • Com a folha de cobre (usar k_{\text{cu}}=401\\ \mathrm{W/mK}):
    • R_{\text{cond,cu}} = \dfrac{\ln(0{,}105/0{,}100)}{2\pi\cdot 401} = \dfrac{0{,}04879}{2\pi\cdot 401} \approx 1{,}94\times 10^{-5}\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • R_{\text{conv},2} = \dfrac{1}{4{,}704\cdot 2\pi\cdot 0{,}105} = \dfrac{1}{4{,}704\cdot 0{,}659734} \approx 0{,}32239\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • R_{\text{total},2} \approx 8{,}08\times 10^{-5} + 1{,}94\times 10^{-5} + 0{,}32239 \approx 0{,}32249\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
    • Logo:
    \dot q'_2 = \frac{125}{0{,}32249}\approx 387{,}69\\ \mathrm{W/m}.
  • Interpretação rápida: com as suposições do exemplo, envolver o tubo com 5 mm de cobre aumentou a potência por metro de cerca de \dfrac{387{,}69-369{,}46}{369{,}46}\times100\% \approx 4{,}9\%. A razão é que o cobre reduz ligeiramente a resistência de condução e aumenta a área convectiva externa; porém a resistência convectiva externa ainda domina neste conjunto de parâmetros (h relativamente baixo), por isso o ganho não é enorme.

Passo 6

Resumo do que foi feito e como aplicar se quiser outro caso:
  • Fórmulas gerais (por unidade de comprimento 1\\ \mathrm{m}):
\boxed{Nu = 0{,}023\,Re^{0,8}\,Pr^{0,3},\qquad h=\dfrac{Nu\;k_{\infty}}{D}}
\boxed{\dot q'_1 = \dfrac{T_s - T_\infty}{\dfrac{\ln(r_{o1}/r_i)}{2\pi k_{\text{latão}}} \;+\; \dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o1}}}}ã
\boxed{\dot q'_2 = \dfrac{T_s - T_\infty}{\dfrac{\ln(r_{o1}/r_i)}{2\pi k_{\text{latão}}} \;+\; \dfrac{\ln(r_{o2}/r_{o1})}{2\pi k_{\text{cu}}}\;+\;\dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{o2}}}}ã
  • Se quiser um número diferente do meu exemplo (por exemplo outro T_\infty ou outro fluido externo com diferente k_{\infty}), basta dizer que eu recalculo os valores numéricos imediatamente.

Resposta

Caso numérico de exemplo (assumindo T_\infty=25^\circ\mathrm{C}, k_{\infty}=0{,}13\\ \mathrm{W/mK}, k_{\text{cu}}=401\\ \mathrm{W/mK}, e T_s=150^\circ\mathrm{C}):
(a) \dot q'_1 \approx 369{,}46\\ \mathrm{W/m}
(b) \dot q'_2 \approx 387{,}69\\ \mathrm{W/m}

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