Um tubo liso de 12 cm de diâmetro, com 10 km de comprimento, bombeia gasolina a 20^{\circ} \mathrm{C}, a uma vazão de 75 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A entrada é alimentada por uma bomba à pressão absoluta de 24 atm . A saída está à pressão atmosférica padrão, 150 m mais alta. Estime a perda por atrito hp, e a compare com a altura de velocidade V2/(2g). [Dado: \rho_{\text {gasolina }\left(20^{\circ} C\right)}=680 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ] (\mathbf{2 , 5}).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar a perda por atrito h_p ao longo do tubo.
  • Comparar essa perda com a altura de velocidade \dfrac{V^{2}}{2g}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
  • Diâmetro do tubo: D=0,12\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=10{,}0\\ \mathrm{km}=10000\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=75\\ \mathrm{m^{3}/h}= \dfrac{75}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pressão de entrada da bomba e diferença de cota da saída não são necessárias para calcular diretamente a perda por atrito solicitada; a questão só pede estimativa de h_p e comparação com \dfrac{V^{2}}{2g}.
  • Densidade da gasolina a 20^\circ\mathrm{C}: \rho=680\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Açoes/observação extra: o tubo é descrito como “liso” (superfície lisa), portanto assumiremos que a rugosidade é desprezível.
  • Constantes físicas: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Calcular a velocidade média \,V no tubo a partir da vazão Q.
Primeiro área da seção transversal (círculo):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
A velocidade média é
V=\frac{Q}{A}.
Vamos calcular numericamente. A vazão em \mathrm{m^{3}/s} é
Q=\frac{75}{3600}=0{,}020833\\ \mathrm{m^{3}/s}.
A área vale
A=\frac{\pi(0{,}12)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0036\approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo a velocidade média é
V=\frac{0{,}020833}{0{,}0113097}\approx 1{,}84\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático curto: a velocidade média é só vazão dividida pela área; área de um círculo é \pi D^{2}/4. Aqui obtivemos V\approx 1{,}84\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento (Reynolds) e escolher uma fórmula para o fator de atrito f.
A definição do número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica do fluido.
Observação prática: o enunciado não dá \mu. Vou usar um valor típico para gasolina a 20^\circ\mathrm{C}: \mu\approx 6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (é uma estimativa razoável para gasolina; se a \mu real for um pouco diferente, o resultado muda pouco em ordem de grandeza).
Calculemos \mathrm{Re}:
\mathrm{Re}=\frac{680 \cdot 1{,}84 \cdot 0{,}12}{6{,}0\times10^{-4}}.
Fazendo as contas:
\mathrm{Re}\approx \frac{150{,}14}{6{,}0\times10^{-4}}\approx 2{,}5\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 2{,}5\times10^{5} indica escoamento totalmente turbulento (bem acima de 4000).
Escolha do fator de atrito: para tubo liso e escoamento turbulento, uma forma simples e prática é usar a correlação de Blasius (fórmula empírica) válida para escoamentos turbulentos em tubos lisos:
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
(Obs.: existe a equação de Colebrook para casos mais precisos; para um cálculo de estimativa como solicitado, Blasius é adequada e simples.)

Passo 4

Calcular o fator de atrito f com Blasius.
Usando \mathrm{Re}=2{,}5\times10^{5},
f=0{,}3164\,(2{,}5\times10^{5})^{-0{,}25}.
Cálculo:
f\approx 0{,}3164\times(2{,}5\times10^{5})^{-0{,}25}\approx 0{,}0142.
Comentário: o valor f\approx 0{,}014 é típico para escoamentos turbulentos moderadamente rápidos em tubos lisos.

Passo 5

Calcular a perda por atrito h_p usando a fórmula de Darcy–Weisbach.
A fórmula (ensinamento prático) é
h_{p}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • h_{p} é a perda de carga por atrito (em metros de coluna de fluido),
  • f é o fator de atrito adimensional,
  • L é o comprimento do tubo,
  • D é o diâmetro,
  • V é a velocidade média,
  • g é a aceleração da gravidade.
Calculemos os termos:
\frac{L}{D}=\frac{10000}{0{,}12}=83333{,}33.
A altura de velocidade (velocidade cabeça) é
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}84)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{3{,}39}{19{,}62}\approx 0{,}173\\ \mathrm{m}.
Agora h_{p}:
h_{p}=0{,}0142\times 83333{,}33\times 0{,}173\approx 203{,}8\\ \mathrm{m}.
Interpretação numérica: a perda por atrito ao longo dos 10\\ \mathrm{km} é da ordem de 2,0\times10^{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparação entre h_{p} e \dfrac{V^{2}}{2g}.
Já calculamos:
h_{p}\approx 203{,}8\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{V^{2}}{2g}\approx 0{,}173\\ \mathrm{m}.
Razão entre eles:
\frac{h_{p}}{V^{2}/(2g)}\approx \frac{203{,}8}{0{,}173}\approx 1{,}18\times 10^{3}.
Comentário final e motivador: ou seja, a perda por atrito ao longo do comprimento do tubo é cerca de mil e duzentas vezes maior do que a altura de velocidade — ou seja, a energia “gasta” no atrito ao transportar o fluido por 10 km domina completamente a energia associada à velocidade. Isso explica por que, em dutos longos, a maior parte da potência da bomba vence o atrito, não a energia cinética do fluido.

Resposta

h_{p}\approx 203{,}8\\ \mathrm{m}
\dfrac{V^{2}}{2g}\approx 0{,}173\\ \mathrm{m}
\dfrac{h_{p}}{V^{2}/(2g)}\approx 1{,}18\times10^{3}

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