"Um tubo de parede espessa é flexionado em relação a um eixo horizontal por um momento M. O tubo pode ser projetado com ou sem quatro aletas.
(a) Utilizando uma tensão admissivel de 20 ksi , determine o maior momento que pode ser aplicado se o tubo for projetado com quatro aletas, conforme mostrado.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o maior momento de flexão M que pode ser aplicado ao tubo projetado com quatro aletas, sabendo que a tensão admissível é \sigma_{\text{adm}}=20\\ \text{ksi}.
Informações dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
  • raio externo do tubo: R_o=1{,}5\\ \text{in.} (peguei da imagem);
  • raio interno do tubo: R_i=0{,}75\\ \text{in.} (peguei da imagem);
  • cada aleta é um retângulo com extensão radial (para fora) h_{\text{rad}}=0{,}2\\ \text{in.} (peguei da imagem) e largura tangencial b_{\text{tan}}=0{,}1\\ \text{in.} (peguei da imagem);
  • há quatro aletas, posicionadas nos pontos cardeais (cima, baixo, esquerda, direita) (peguei da imagem).
O objetivo final é encontrar M_{\max} tal que a tensão máxima de flexão não exceda \sigma_{\text{adm}}=20\\ \text{ksi}.

Passo 2

Relembre a fórmula básica da flexão para tensão normal: a tensão máxima em um fibra a distância c do eixo neutro é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I},
onde:
  • \sigma_{\max} é a tensão normal máxima (no caso deve ser \le \sigma_{\text{adm}});
  • M é o momento fletor aplicado (o que queremos);
  • c é a distância do centro até a fibra mais distante (extremo do perfil);
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (aqui, eixo horizontal passando pelo centro).
Logo, para não superar a tensão admissível, basta escolher M tal que
M=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{c}.
Nossa tarefa é calcular I da seção composta (anel + 4 aletas) e o c (distância até a fibra mais distante).

Passo 3

Determinar c (distância até a fibra mais distante). A partir da imagem:
  • a borda externa do tubo está em R_o=1{,}5\\ \text{in.};
  • as aletas projetam 0{,}2\\ \text{in.} além do raio externo (peguei da imagem).
    Portanto a fibra mais distante (ponta da aleta) está a
c = R_o + 0{,}2 = 1{,}5 + 0{,}2 = 1{,}7\\ \text{in.}

Passo 4

Calcular o momento de inércia da parte anelar (tubo sem aletas). Para um círculo de raio R o momento de inércia em relação a um diâmetro vale \dfrac{\pi R^{4}}{4}. Para um anel (assimétrico) subtrai-se o interno do externo:
I_{\text{anel}}=\frac{\pi}{4}\left(R_o^{4}-R_i^{4}\right).
Substituindo (valores retirados da imagem):
R_o^{4}=(1{,}5)^{4}=5{,}0625,\qquad R_i^{4}=(0{,}75)^{4}=0{,}31640625,
R_o^{4}-R_i^{4}=4{,}74609375,
I_{\text{anel}}=\frac{\pi}{4}\cdot 4{,}74609375 \approx 3{,}726648\\ \text{in}^4.

Passo 5

Calcular contribuição das aletas (usar método de áreas compostas). Cada aleta é aproximada por um retângulo de área
A_{\text{aleta}}=b_{\text{tan}}\cdot h_{\text{rad}}=0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}02\\ \text{in}^2.
Existem quatro aletas: duas estão no eixo vertical (superior e inferior) e duas no eixo horizontal (direita e esquerda). Para o momento em relação ao eixo horizontal:
  • Aletas superior e inferior:
    • estão acima/abaixo do centro; a dimensão vertical do retângulo é h=0{,}2\\ \text{in.} e a largura tangencial é b=0{,}1\\ \text{in.} (peguei da imagem).
    • o momento de inércia do retângulo em seu próprio eixo centroidal (eixo horizontal passando pelo centro da aleta) é I_{\text{cent,aleta\_v}}=\frac{b\,h^{3}}{12}=\frac{0{,}1\cdot(0{,}2)^{3}}{12}=\frac{0{,}1\cdot 0{,}008}{12}=6{,}6667\times 10^{-5}\\ \text{in}^4.
    • a distância do centro do tubo ao centro da aleta (distância de transferência para o Teorema dos Eixos Paralelos) é d=R_o+\frac{h}{2}=1{,}5+0{,}1=1{,}6\\ \text{in.}
    • pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de cada uma (em relação ao eixo horizontal do tubo) é I_{\text{aleta\_v}}=I_{\text{cent,aleta\_v}}+A_{\text{aleta}}\,d^{2}=6{,}6667\times 10^{-5}+0{,}02\cdot(1{,}6)^{2}.Calculemos: 0{,}02\cdot(1{,}6)^{2}=0{,}02\cdot 2{,}56=0{,}0512,
I_{\text{aleta\_v}}\approx 0{,}0512666667\\ \text{in}^4.
  • há duas dessas (cima e baixo), portanto contribuição total vertical:
    I_{\text{vert\_total}}=2\cdot I_{\text{aleta\_v}}\approx 2\cdot 0{,}0512666667=0{,}1025333334\\ \text{in}^4.
  • Aletas esquerda e direita:
    • essas aletas têm a mesma forma, mas estão centradas no eixo horizontal; sua distância vertical ao eixo neutro do tubo é d=0, portanto só contribuem com o momento de inércia centroidal.
    • para essas aletas a dimensão vertical é agora h_{\text{lr}}=b_{\text{tan}}=0{,}1\\ \text{in.} (pois a aleta está orientada radialmente na horizontal) e a largura perpendicular ao eixo (no sentido horizontal) é b_{\text{lr}}=h_{\text{rad}}=0{,}2\\ \text{in.}
    • o momento de inércia de cada uma em seu eixo centroidal é I_{\text{cent,aleta\_h}}=\frac{b_{\text{lr}}\,h_{\text{lr}}^{3}}{12}=\frac{0{,}2\cdot(0{,}1)^{3}}{12}=\frac{0{,}2\cdot 0{,}001}{12}=1{,}6667\times 10^{-5}\\ \text{in}^4.
    • há duas dessas, então I_{\text{hor\_total}}=2\cdot 1{,}6667\times 10^{-5}=3{,}3333\times 10^{-5}\\ \text{in}^4.
  • Soma das contribuições das quatro aletas:
I_{\text{aletas}}=I_{\text{vert\_total}}+I_{\text{hor\_total}}\approx 0{,}1025333334 + 0{,}0000333333 \approx 0{,}1025666667\\ \text{in}^4.

Passo 6

Somar o momento de inércia do anel com o das aletas para obter o momento de inércia total:
I_{\text{total}}=I_{\text{anel}}+I_{\text{aletas}}\approx 3{,}726648 + 0{,}1025666667 \approx 3{,}8292146667\\ \text{in}^4.
Arredondando convenientemente:
I_{\text{total}}\approx 3{,}8292\\ \text{in}^4.

Passo 7

Agora aplicar a fórmula para M:
M=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I_{\text{total}}}{c}.
Substituindo \sigma_{\text{adm}}=20\\ \text{ksi}, I_{\text{total}}\approx 3{,}8292147\\ \text{in}^4 e c=1{,}7\\ \text{in.} (valores acima, todos obtidos/confirmados da imagem):
M=\frac{20\cdot 3{,}8292146667}{1{,}7}\\ \text{kip}\cdot\text{in} \approx 45{,}04955\\ \text{kip}\cdot\text{in}.
Conversões úteis:
M\approx 45{,}05\\ \text{kip}\cdot\text{in} = \frac{45{,}05}{12}\\ \text{kip}\cdot\text{ft}\approx 3{,}7541\\ \text{kip}\cdot\text{ft},
ou em unidades de lb·in:
M\approx 45{,}04955\times 1000\\ \text{lb}\cdot\text{in}\approx 45{,}049{,}6\\ \text{lb}\cdot\text{in}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o acréscimo das aletas aumentou o momento de inércia total em apenas alguns por cento em relação ao anel sozinho, porque as aletas são pequenas; contudo elas deslocam um pouco de área para maiores distâncias e, portanto, ajudam a resistir à flexão. Você fez um bom trabalho acompanhando cada termo — na prova faça exatamente esses passos: identificar dimensões da figura, calcular I da parte principal, somar contribuições das peças pequenas com o Teorema dos Eixos Paralelos e usar \sigma=Mc/I.

Resposta

M_{\max}\approx 45{,}05\\ \text{kip}\cdot\text{in}\approx 3{,}754\\ \text{kip}\cdot\text{ft}

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