"Um tubo de parede espessa é flexionado em relação a um eixo horizontal por um momento M. O tubo pode ser projetado com ou sem quatro aletas.
(a) Utilizando uma tensão admissivel de 20 ksi , determine o maior momento que pode ser aplicado se o tubo for projetado com quatro aletas, conforme mostrado.
Passo 1
O enunciado pede que se determine o maior momento de flexão
que pode ser aplicado ao tubo projetado com quatro aletas, sabendo que a tensão admissível é
.
Informações dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
Informações dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
- raio externo do tubo:
(peguei da imagem); - raio interno do tubo:
(peguei da imagem); - cada aleta é um retângulo com extensão radial (para fora)
(peguei da imagem) e largura tangencial (peguei da imagem); - há quatro aletas, posicionadas nos pontos cardeais (cima, baixo, esquerda, direita) (peguei da imagem).
O objetivo final é encontrar
tal que a tensão máxima de flexão não exceda
.
Passo 2
Relembre a fórmula básica da flexão para tensão normal: a tensão máxima em um fibra a distância
do eixo neutro é dada por
onde:
-
é a tensão normal máxima (no caso deve ser ); -
é o momento fletor aplicado (o que queremos); -
é a distância do centro até a fibra mais distante (extremo do perfil); -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (aqui, eixo horizontal passando pelo centro).
Logo, para não superar a tensão admissível, basta escolher
tal que
Nossa tarefa é calcular
da seção composta (anel + 4 aletas) e o
(distância até a fibra mais distante).
Passo 3
Determinar
(distância até a fibra mais distante). A partir da imagem:
- a borda externa do tubo está em
; - as aletas projetam
além do raio externo (peguei da imagem).
Portanto a fibra mais distante (ponta da aleta) está a
Passo 4
Calcular o momento de inércia da parte anelar (tubo sem aletas). Para um círculo de raio
o momento de inércia em relação a um diâmetro vale
. Para um anel (assimétrico) subtrai-se o interno do externo:
Substituindo (valores retirados da imagem):
Passo 5
Calcular contribuição das aletas (usar método de áreas compostas). Cada aleta é aproximada por um retângulo de área
Existem quatro aletas: duas estão no eixo vertical (superior e inferior) e duas no eixo horizontal (direita e esquerda). Para o momento em relação ao eixo horizontal:
- Aletas superior e inferior:
- estão acima/abaixo do centro; a dimensão vertical do retângulo é
e a largura tangencial é (peguei da imagem). - o momento de inércia do retângulo em seu próprio eixo centroidal (eixo horizontal passando pelo centro da aleta) é
- a distância do centro do tubo ao centro da aleta (distância de transferência para o Teorema dos Eixos Paralelos) é
- pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de cada uma (em relação ao eixo horizontal do tubo) é
Calculemos:
- estão acima/abaixo do centro; a dimensão vertical do retângulo é
-
há duas dessas (cima e baixo), portanto contribuição total vertical:
-
Aletas esquerda e direita:
- essas aletas têm a mesma forma, mas estão centradas no eixo horizontal; sua distância vertical ao eixo neutro do tubo é
, portanto só contribuem com o momento de inércia centroidal. - para essas aletas a dimensão vertical é agora
(pois a aleta está orientada radialmente na horizontal) e a largura perpendicular ao eixo (no sentido horizontal) é - o momento de inércia de cada uma em seu eixo centroidal é
- há duas dessas, então
- essas aletas têm a mesma forma, mas estão centradas no eixo horizontal; sua distância vertical ao eixo neutro do tubo é
-
Soma das contribuições das quatro aletas:
Passo 6
Somar o momento de inércia do anel com o das aletas para obter o momento de inércia total:
Arredondando convenientemente:
Passo 7
Agora aplicar a fórmula para
:
Substituindo
,
e
(valores acima, todos obtidos/confirmados da imagem):
Conversões úteis:
ou em unidades de lb·in:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: o acréscimo das aletas aumentou o momento de inércia total em apenas alguns por cento em relação ao anel sozinho, porque as aletas são pequenas; contudo elas deslocam um pouco de área para maiores distâncias e, portanto, ajudam a resistir à flexão. Você fez um bom trabalho acompanhando cada termo — na prova faça exatamente esses passos: identificar dimensões da figura, calcular
da parte principal, somar contribuições das peças pequenas com o Teorema dos Eixos Paralelos e usar
.