3.72 Um tubo de aço de 3,5 in. de diâmetro externo deve ser utilizado para transmitir um torque de
sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 8 ksi . Há disponível para uso uma série de tubos com diâmetro externo de
. Sabendo que as espessuras da parede dos tubos disponíveis variam de 0,25 in. a 0,50 in. em incrementos de 0,0625 in, escolha o tubo mais leve que pode ser utilizado.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre tubos com diâmetro externo
e várias espessuras de parede disponíveis, o tubo mais leve que suporte um torque de
sem que a tensão de cisalhamento exceda a admissível de
. Dados fornecidos e informações extraídas do enunciado/imagem:
- Torque pedido:
. (Vou converter para polegadas em seguida.) - Tensão de cisalhamento admissível:
- Diâmetro externo do tubo (pego da imagem):
, portanto raio externo . - Espessuras de parede disponíveis (em polegadas):
(incrementos de ). - Objetivo operacional: escolher o menor
(o tubo mais leve) tal que a tensão de cisalhamento máxima sob o torque satisfaça .
Passo 2
Fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadas de forma didática).
- Para um eixo circular oco submetido à torção, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
onde:
-
é o torque aplicado (unidades: no nosso cálculo), -
é o raio externo do tubo (unidades: ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidades: ). - Para uma seção circular oca (anel) com raio externo
e interno ,
Explicação curta:
mede “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior
, menor a tensão para um mesmo torque.
relaciona-se com a espessura pela relação
.
Passo 3
Preparar os valores numéricos iniciais e conversões fáceis.
- Converto o torque para polegadas:
- O numerador
na fórmula de tensão usará , então
- A condição a satisfazer é
Ou seja, precisamos de um
tal que
Interpretação: qualquer tubo com
terá
. Agora vamos testar as espessuras disponíveis a partir da menor (mais leve) até achar a primeira que satisfaz
.
Passo 4
Testo a menor espessura disponível
.
- Raio interno:
- Calculo
e :
- Diferença e
:
- Tensão resultante:
Comparação:
. Conclusão:
NÃO é suficiente (tensão excede a admissível). Vamos para a próxima espessura.
Passo 5
Testo a próxima espessura
(que é
).
- Raio interno:
- Calculo exato de
(valores racionais ajudam a precisão):
- Já sabemos
. Então:
- Tensão resultante:
Comparação:
. Conclusão:
atende à condição de resistência.
Passo 6
Verificação rápida das demais espessuras (para confirmar que a escolha mais leve válida é a anterior).
- À medida que
aumenta, diminui, aumenta, aumenta e diminui. Portanto, qualquer espessura maior que também atenderá, mas será mais pesada. - Logo, a mais leve que satisfaz
é a espessura mínima que passou no teste: .
Passo 7
Interpretação final e dica prática para a prova (passo-a-passo que você pode repetir rapidamente):
- Converter torque para unidades coerentes (
). - Calcular
. - Calcular
usando com . - Calcular
e comparar com . - Testar espessuras em ordem crescente até encontrar a primeira que satisfaça a desigualdade.
Dica: antes de testar, pode calcular omínimo requerido por e usar esse valor para decidir mais rapidamente se uma espessura é suficiente.