3.72 Um tubo de aço de 3,5 in. de diâmetro externo deve ser utilizado para transmitir um torque de 3000 \mathrm{lb} \cdot \mathrm{ft} sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 8 ksi . Há disponível para uso uma série de tubos com diâmetro externo de 3,5 \mathrm{in}. Sabendo que as espessuras da parede dos tubos disponíveis variam de 0,25 in. a 0,50 in. em incrementos de 0,0625 in, escolha o tubo mais leve que pode ser utilizado.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre tubos com diâmetro externo 3,5\\ \text{in.} e várias espessuras de parede disponíveis, o tubo mais leve que suporte um torque de 3000\\ \text{lb}\cdot\text{ft} sem que a tensão de cisalhamento exceda a admissível de 8\\ \text{ksi}. Dados fornecidos e informações extraídas do enunciado/imagem:
  • Torque pedido: T = 3000\\ \text{lb}\cdot\text{ft}. (Vou converter para polegadas em seguida.)
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}} = 8\\ \text{ksi} = 8000\\ \text{psi}.
  • Diâmetro externo do tubo (pego da imagem): D_o = 3,5\\ \text{in.}, portanto raio externo r_o = \dfrac{D_o}{2} = 1,75\\ \text{in.}.
  • Espessuras de parede disponíveis (em polegadas): t = 0,25;\\\ 0,3125;\\\ 0,375;\\\ 0,4375;\\\ 0,50 (incrementos de 0,0625\\ \text{in.} = 1/16\\ \text{in.}).
  • Objetivo operacional: escolher o menor t (o tubo mais leve) tal que a tensão de cisalhamento máxima sob o torque satisfaça \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}.

Passo 2

Fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Para um eixo circular oco submetido à torção, a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (unidades: \text{lb}\cdot\text{in.} no nosso cálculo),
  • c é o raio externo do tubo (unidades: \text{in.}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidades: \text{in.}^4).
  • Para uma seção circular oca (anel) com raio externo r_o e interno r_i,
J=\dfrac{\pi}{2}\bigl(r_o^4-r_i^4\bigr).
Explicação curta: J mede “resistência geométrica” da seção à torção; quanto maior J, menor a tensão para um mesmo torque. r_i relaciona-se com a espessura pela relação r_i=r_o-t.

Passo 3

Preparar os valores numéricos iniciais e conversões fáceis.
  • Converto o torque para polegadas:
T = 3000\\ \text{lb}\cdot\text{ft} = 3000\times 12 = 36000\\ \text{lb}\cdot\text{in.}
  • O numerador T\,c na fórmula de tensão usará c=r_o=1,75\\ \text{in.}, então
T\,c = 36000\times 1,75 = 63000\\ \text{lb}\cdot\text{in.}^2.
  • A condição a satisfazer é
\tau_{\max}=\dfrac{T\,r_o}{J}\le 8000\\ \text{psi}.
Ou seja, precisamos de um J tal que
J \ge \dfrac{T\,r_o}{8000}=\dfrac{63000}{8000}=7,875\\ \text{in.}^4.
Interpretação: qualquer tubo com J\ge 7,875\\ \text{in.}^4 terá \tau_{\max}\le 8000\\ \text{psi}. Agora vamos testar as espessuras disponíveis a partir da menor (mais leve) até achar a primeira que satisfaz J\ge 7,875.

Passo 4

Testo a menor espessura disponível t=0,25\\ \text{in.}.
  • Raio interno:
r_i = r_o - t = 1,75 - 0,25 = 1,50\\ \text{in.}
  • Calculo r_o^4 e r_i^4:
r_o^4 = 1,75^4 = \left(\dfrac{7}{4}\right)^4 = \dfrac{2401}{256} = 9,37890625,
r_i^4 = 1,5^4 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{81}{16} = 5,0625.
  • Diferença e J:
r_o^4-r_i^4 = 9,37890625-5,0625 = 4,31640625,
J = \dfrac{\pi}{2}\cdot 4,31640625 \approx 6,781809\\ \text{in.}^4.
  • Tensão resultante:
\tau_{\max}=\dfrac{T\,r_o}{J}=\dfrac{63000}{6,781809}\approx 9292\\ \text{psi}\approx 9,292\\ \text{ksi}.
Comparação: 9,292\\ \text{ksi} > 8,0\\ \text{ksi}. Conclusão: t=0,25\\ \text{in.} NÃO é suficiente (tensão excede a admissível). Vamos para a próxima espessura.

Passo 5

Testo a próxima espessura t=0,3125\\ \text{in.} (que é 5/16\\ \text{in.}).
  • Raio interno:
r_i = 1,75 - 0,3125 = 1,4375\\ \text{in.}
  • Calculo exato de r_i^4 (valores racionais ajudam a precisão):
r_i = \dfrac{23}{16}\quad\Rightarrow\quad r_i^2=\dfrac{529}{256}=2,06640625,
r_i^4=\left(\dfrac{529}{256}\right)^2=\dfrac{279841}{65536}\approx 4,270030517578125.
  • Já sabemos r_o^4=9,37890625. Então:
r_o^4-r_i^4 \approx 9,37890625-4,270030517578125 = 5,108875732421875.
J = \dfrac{\pi}{2}\cdot 5,108875732421875 \approx 8,02835\\ \text{in.}^4.
  • Tensão resultante:
\tau_{\max}=\dfrac{63000}{8,02835}\approx 7849\\ \text{psi}\approx 7,849\\ \text{ksi}.
Comparação: 7,849\\ \text{ksi} < 8,0\\ \text{ksi}. Conclusão: t=0,3125\\ \text{in.} atende à condição de resistência.

Passo 6

Verificação rápida das demais espessuras (para confirmar que a escolha mais leve válida é a anterior).
  • À medida que t aumenta, r_i diminui, r_o^4-r_i^4 aumenta, J aumenta e \tau_{\max} diminui. Portanto, qualquer espessura maior que 0,3125\\ \text{in.} também atenderá, mas será mais pesada.
  • Logo, a mais leve que satisfaz \tau_{\max}\le 8\\ \text{ksi} é a espessura mínima que passou no teste: t=0,3125\\ \text{in.}.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova (passo-a-passo que você pode repetir rapidamente):
  1. Converter torque para unidades coerentes ( \text{lb}\cdot\text{in.}).
  2. Calcular T\,r_o.
  3. Calcular J usando J=\dfrac{\pi}{2}(r_o^4-r_i^4) com r_i=r_o-t.
  4. Calcular \tau_{\max}=\dfrac{T\,r_o}{J} e comparar com \tau_{\text{adm}}.
  5. Testar espessuras em ordem crescente até encontrar a primeira que satisfaça a desigualdade.
    Dica: antes de testar, pode calcular o J mínimo requerido por J_{\min}=\dfrac{T r_o}{\tau_{\text{adm}}} e usar esse valor para decidir mais rapidamente se uma espessura é suficiente.

Resposta

t=0,3125\\ \text{in.} (ou 5/16\\ \text{in.})

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