3.70 Um eixo guia tem 6 pés de comprimento e diâmetros, externo e interno, respectivamente iguais a 2,25 \mathrm{in}. e 1,75 \mathrm{in}. Sabendo que o eixo transmite 240 hp enquanto rotaciona a 1800 rpm , determine (a) a máxima tensão de cisalhamento, (b) o ângulo de giro do eixo ( G=11,2 \times 10^{6} \mathrm{psi} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a máxima tensão de cisalhamento no eixo;
  • (b) o ângulo de giro (torção) do eixo.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado / figura):
  • comprimento do eixo: L=6 pés (vou converter para polegadas quando necessário);
  • diâmetro externo: d_o=2{,}25\\ \mathrm{in};
  • diâmetro interno (furo): d_i=1{,}75\\ \mathrm{in};
  • potência transmitida: P=240\\ \mathrm{hp};
  • velocidade de rotação: n=1800\\ \mathrm{rpm};
  • módulo de cisalhamento: G=11{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{psi}.
Observações de unidade que vou usar:
  • vou trabalhar no sistema polegadas-libra-segundo para tensões em \mathrm{psi}, então converto comprimento para polegadas e potência para \mathrm{in\!-\!lb/s} quando necessário;
  • conversões úteis: 1\\ \mathrm{ft}=12\\ \mathrm{in}, 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\!-\!lb/s}.

Passo 2

Primeiro: calcular o torque transmissível T a partir da potência e da velocidade de rotação.
Relação física básica (explicação): a potência mecânica entregue por um eixo rotativo é o produto do torque pela velocidade angular. Em notação:
P = T\,\omega,
onde P é a potência (energia por unidade de tempo), T o torque e \omega a velocidade angular em \mathrm{rad/s}. Assim, T=P/\omega.
Cálculos e conversões:
  • converto P de \mathrm{hp} para \mathrm{ft\!-\!lb/s}:
P = 240\\ \mathrm{hp}\times 550\\ \frac{\mathrm{ft\!-\!lb}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{hp}} = 132000\\ \mathrm{ft\!-\!lb/s}.
  • converto para \mathrm{in\!-\!lb/s} multiplicando por 12:
P = 132000\times 12 = 1584000\\ \mathrm{in\!-\!lb/s}.
  • velocidade angular \omega (de \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s}):
\omega = 2\pi\frac{n}{60} = 2\pi\frac{1800}{60} = 2\pi\cdot 30 = 60\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • torque:
T=\frac{P}{\omega}=\frac{1584000}{60\pi}=\frac{26400}{\pi}\\ \mathrm{in\!-\!lb}.
Avaliação numérica (aproximação):
T \approx 8403{,}9\\ \mathrm{in\!-\!lb}.

Passo 3

Agora calculamos o momento polar de inércia (momento de segunda ordem polar) J do eixo oco — esse parâmetro mede a resistência geométrica à torção.
Fórmula e explicação: para um tubo circular oco,
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^{4}-d_i^{4}\right),
onde d_o é o diâmetro externo e d_i o diâmetro interno. J tem unidades de \mathrm{in}^4 quando os diâmetros estão em polegadas.
Cálculo:
  • computei as potências:
d_o^{4}=2{,}25^{4}=25{,}62890625,\qquad d_i^{4}=1{,}75^{4}=9{,}37890625.
  • diferença:
d_o^{4}-d_i^{4}=25{,}62890625-9{,}37890625=16{,}25.
  • então
J=\frac{\pi}{32}\cdot 16{,}25 = 0{,}5078125\pi \\ \mathrm{in}^4 \approx 1{,}59534\\ \mathrm{in}^4.

Passo 4

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento \tau_{\max}.
Fórmula e explicação: para torção em seção circular (sólida ou oca), a tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície externa (raio c) e vale
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo c=\dfrac{d_o}{2} e J o momento polar calculado acima. Essa fórmula decorre da distribuição linear das deformações de cisalhamento com o raio em torção e da relação tensão-deformação via módulo de cisalhamento.
Cálculo numérico:
  • raio externo:
c=\frac{d_o}{2}=\frac{2{,}25}{2}=1{,}125\\ \mathrm{in}.
  • aplicar a fórmula:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{8403{,}858\cdot 1{,}125}{1{,}59534}\\ \mathrm{psi}.
Avaliação:
\tau_{\max}\approx 5927{,}8\\ \mathrm{psi}.
Arredondando razoavelmente:
\tau_{\max}\approx 5{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{psi}\quad(\text{isto é, }5{,}93\\ \mathrm{ksi}).é

Passo 5

Verificação de consistência (rápida): unidades estão coerentes porque T está em \mathrm{in\!-\!lb}, c em \mathrm{in} e J em \mathrm{in}^4, resultando em \mathrm{lb/in}^2 que é \mathrm{psi}. Valor obtido ( \sim 5{,}9\\ \mathrm{ksi}) é plausível para um eixo de aço transmitindo 240 hp.

Passo 6

Cálculo do ângulo de torção (ângulo de giro) total \theta ao longo do comprimento L.
Fórmula e explicação: para um barra circular submetida a torque constante, o ângulo de torção (em radianos) é
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde T é o torque, L o comprimento da barra (em polegadas aqui), G o módulo de cisalhamento e J o momento polar. Essa fórmula vem da lei de Hooke para cisalhamento combinada com a relação entre deformação de cisalhamento e variação angular ao longo do comprimento.
Conversões e cálculo:
  • converto L para polegadas:
L=6\\ \mathrm{ft}=6\times 12=72\\ \mathrm{in}.
  • aplico a fórmula:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}=\frac{8403{,}858\cdot 72}{11{,}2\times 10^{6}\cdot 1{,}59534}\\ \mathrm{rad}.
Avaliação numérica:
\theta\approx 0{,}03386\\ \mathrm{rad}.
Conversão para graus (opcional, só para intuição): 1\\ \mathrm{rad}\approx 57{,}2958^\circ, então
\theta\approx 0{,}03386\times 57{,}2958 \approx 1{,}94^\circ.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o eixo sofre uma tensão de cisalhamento máxima de cerca de 5{,}93\\ \mathrm{ksi}, que normalmente está bem abaixo do limite de escoamento de aços comuns (mas sempre verifique o material e fatores de segurança na prática). O ângulo de torção total de cerca de 0{,}0339\\ \mathrm{rad} ( \approx1{,}94^\circ) é pequeno, o que indica pouca torção perceptível ao longo de 6 pés.

Resposta

\tau_{\max}\approx 5{,}93\times 10^{3}\\ \mathrm{psi}
\theta\approx 0{,}03386\\ \mathrm{rad}\\ (\approx 1{,}94^\circ)

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