3.70 Um eixo guia tem 6 pés de comprimento e diâmetros, externo e interno, respectivamente iguais a
. e
. Sabendo que o eixo transmite 240 hp enquanto rotaciona a 1800 rpm , determine (a) a máxima tensão de cisalhamento, (b) o ângulo de giro do eixo (
).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a máxima tensão de cisalhamento no eixo;
- (b) o ângulo de giro (torção) do eixo.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado / figura):
- comprimento do eixo:
pés (vou converter para polegadas quando necessário); - diâmetro externo:
; - diâmetro interno (furo):
; - potência transmitida:
; - velocidade de rotação:
; - módulo de cisalhamento:
.
Observações de unidade que vou usar:
- vou trabalhar no sistema polegadas-libra-segundo para tensões em
, então converto comprimento para polegadas e potência para quando necessário; - conversões úteis:
, .
Passo 2
Primeiro: calcular o torque transmissível
a partir da potência e da velocidade de rotação.
Relação física básica (explicação): a potência mecânica entregue por um eixo rotativo é o produto do torque pela velocidade angular. Em notação:
onde
é a potência (energia por unidade de tempo),
o torque e
a velocidade angular em
. Assim,
.
Cálculos e conversões:
- converto
de para :
- converto para
multiplicando por :
- velocidade angular
(de para ):
- torque:
Avaliação numérica (aproximação):
Passo 3
Agora calculamos o momento polar de inércia (momento de segunda ordem polar)
do eixo oco — esse parâmetro mede a resistência geométrica à torção.
Fórmula e explicação: para um tubo circular oco,
onde
é o diâmetro externo e
o diâmetro interno.
tem unidades de
quando os diâmetros estão em polegadas.
Cálculo:
- computei as potências:
- diferença:
- então
Passo 4
Cálculo da tensão máxima de cisalhamento
.
Fórmula e explicação: para torção em seção circular (sólida ou oca), a tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície externa (raio
) e vale
onde
é o raio externo
e
o momento polar calculado acima. Essa fórmula decorre da distribuição linear das deformações de cisalhamento com o raio em torção e da relação tensão-deformação via módulo de cisalhamento.
Cálculo numérico:
- raio externo:
- aplicar a fórmula:
Avaliação:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Verificação de consistência (rápida): unidades estão coerentes porque
está em
,
em
e
em
, resultando em
que é
. Valor obtido (
) é plausível para um eixo de aço transmitindo 240 hp.
Passo 6
Cálculo do ângulo de torção (ângulo de giro) total
ao longo do comprimento
.
Fórmula e explicação: para um barra circular submetida a torque constante, o ângulo de torção (em radianos) é
onde
é o torque,
o comprimento da barra (em polegadas aqui),
o módulo de cisalhamento e
o momento polar. Essa fórmula vem da lei de Hooke para cisalhamento combinada com a relação entre deformação de cisalhamento e variação angular ao longo do comprimento.
Conversões e cálculo:
- converto
para polegadas:
- aplico a fórmula:
Avaliação numérica:
Conversão para graus (opcional, só para intuição):
, então
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o eixo sofre uma tensão de cisalhamento máxima de cerca de
, que normalmente está bem abaixo do limite de escoamento de aços comuns (mas sempre verifique o material e fatores de segurança na prática). O ângulo de torção total de cerca de
(
) é pequeno, o que indica pouca torção perceptível ao longo de 6 pés.