4 Uma coluna retangular feita de aço ( \mathrm{E}=1600 \mathrm{GPa}, \sigma \_\mathrm{e}=210 \mathrm{MPa} ) possui 4,5 metros de altura. Para o caso de uma extremidade presas por pinos ( \mathrm{K}=1 ), você deve selecionar qual o menor perfil (base x altura) para suportar uma carga de 40 kN . Verifique também a tensão crítica, escolha a menor coluna possível. Os perfis são: 35 \times 55 \mathrm{~mm} ; 40 \times 60 \mathrm{~mm} ; 45 \times 65 \mathrm{~mm} ; 50 \times 70 \mathrm{~mm} ; 55 \times 75 \mathrm{~mm}. Utilize critério de Euler, b) verifique se a coluna é longa ou curta, c) utilize as equações da norma para cargas concêntricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu selecione o menor perfil retangular (entre os fornecidos) capaz de suportar uma carga axial concentrada de 40\\ \mathrm{kN}, para uma coluna de aço com altura 4{,}5\\ \mathrm{m} e com extremidades articuladas (pinos) — isto é, coeficiente de esbeltez efetiva K=1. Dados fornecidos:
E=1600\\ \mathrm{GPa},\qquad \sigma_{\text{e}}=210\\ \mathrm{MPa},\qquad L=4{,}5\\ \mathrm{m}=4500\\ \mathrm{mm},
P_{\text{solicit}}=40\\ \mathrm{kN}=40\,000\\ \mathrm{N},\qquad K=1.
Perfis disponíveis (base \times altura), todos em \mathrm{mm}:
35\times55,\;40\times60,\;45\times65,\;50\times70,\;55\times75.
O que preciso fornecer:
  • Usar o critério de Euler para carga crítica P_{cr}.
  • Verificar se a coluna é longa ou curta (classificação por esbeltez).
  • Verificar a tensão crítica e checar se o perfil suporta 40\\ \mathrm{kN}.
  • Escolher a menor coluna possível dentre as opções.

Passo 2

Explico as fórmulas e conceitos que vou usar (passo-a-passo e didático).
  1. Fórmula de Euler (coluna com carregamento concêntrico e regime elástico):
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
Onde:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (N).
  • \pi é a constante \approx 3{,}1416.
  • E é o módulo de elasticidade (N/mm ^2 ou MPa).
  • I é o menor momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que causa flambagem (mm ^4).
  • K é o coeficiente de extremidade (aqui K=1).
  • L é o comprimento entre apoios (mm).
  1. Para seção retangular com dimensões b (base) e h (altura), os momentos de inércia centrais são:
I_x=\frac{b\,h^{3}}{12},\qquad I_y=\frac{h\,b^{3}}{12}.
A flambagem ocorrerá em torno do eixo que fornece o menor I; portanto usamos I_{\min}=\min(I_x,I_y).
  1. Área da seção:
A=b\cdot h\quad(\mathrm{mm}^2).
  1. Radio de giração e esbeltez:
r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}\quad(\mathrm{mm}),\qquad \lambda=\frac{K L}{r}.
A classificação longa/curta comparo com o limite de transição elástico/plástico (quando a tensão de Euler iguala a tensão de escoamento). Esse limite de esbeltez (usado aqui) é
\lambda_{\text{lim}}=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{\text{e}}}}.
Se \lambda>\lambda_{\text{lim}} a coluna é considerada longa (flambagem elástica de Euler aplicável). Se \lambda\le\lambda_{\text{lim}} a flambagem entra em região de inelasticidade e outras equações (Johnson/Rankine) seriam usadas.
  1. Tensão crítica associada à flambagem:
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}.
E a tensão real causada pela carga aplicada:
\sigma_{\text{ap}}=\frac{P_{\text{solicit}}}{A}.
Observação: vou converter E para unidades compatíveis com mm: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2. Dado E=1600\\ \mathrm{GPa}, isso significa
E=1600\times 10^{3}\\ \mathrm{MPa}=1{,}600{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
(uso esse valor conforme enunciado.)

Passo 3

Calculamos o valor limite de esbeltez \lambda_{\text{lim}} (um só vez):
\lambda_{\text{lim}}=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{\text{e}}}} =\pi\sqrt{\frac{1\,600\,000}{210}} =\pi\sqrt{7619{,}0476}\approx \pi\cdot 87{,}29\approx 274{,}12.
Logo, se \lambda>274{,}12 a coluna será classificada como longa (Euler aplicável).

Passo 4

Vou testar o menor perfil 35\times55\\ \mathrm{mm}. Se esse atender P_{\text{solicit}}=40\\ \mathrm{kN}, é a resposta; caso contrário, prossigo para o próximo perfil.
Para b=35\\ \mathrm{mm} e h=55\\ \mathrm{mm}:
  1. Área:
A=b\cdot h=35\cdot 55=1925\\ \mathrm{mm}^2.
  1. Momentos de inércia:
I_x=\frac{b\,h^{3}}{12}=\frac{35\cdot 55^{3}}{12}.
Calculando 55^{3}=166\,375, então
I_x=\frac{35\cdot 166\,375}{12}=\frac{5\,823\,125}{12}=485\,260{,}4167\\ \mathrm{mm}^4.
I_y=\frac{h\,b^{3}}{12}=\frac{55\cdot 35^{3}}{12}.
Calculando 35^{3}=42\,875, então
I_y=\frac{55\cdot 42\,875}{12}=\frac{2\,358\,125}{12}=196\,510{,}4167\\ \mathrm{mm}^4.
Menor momento de inércia: I_{\min}=I_y=196\,510{,}4167\\ \mathrm{mm}^4.
  1. Raio de giração:
r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}=\sqrt{\frac{196\,510{,}4167}{1925}}=\sqrt{102{,}058\dots}=10{,}1028\\ \mathrm{mm}.
  1. Esbeltez:
\lambda=\frac{K L}{r}=\frac{1\cdot 4500}{10{,}1028}\approx 445{,}5.
Comparando com \lambda_{\text{lim}}\approx 274{,}12, temos \lambda>\lambda_{\text{lim}}. Portanto esta coluna é classificada como longa e o critério de Euler é aplicável (flambagem elástica).

Passo 5

Calcular a carga crítica de Euler P_{cr} para o perfil 35\times55:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I_{\min}}{(K L)^{2}} =\frac{\pi^{2}\cdot 1\,600\,000\cdot 196\,510{,}4167}{4500^{2}}.
Num cálculo numérico:
P_{cr}\approx 153\,240\\ \mathrm{N}\approx 153{,}2\\ \mathrm{kN}.
Então a tensão crítica (tensão associada a P_{cr}):
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{153\,240}{1925}\approx 79{,}63\\ \mathrm{MPa}.
A tensão causada pela carga solicitante 40\\ \mathrm{kN} é
\sigma_{\text{ap}}=\frac{40\,000}{1925}\approx 20{,}78\\ \mathrm{MPa}.
Comparações importantes:
  • P_{cr}\approx 153{,}2\\ \mathrm{kN} > 40\\ \mathrm{kN}. Logo, segundo Euler essa seção suporta a carga solicitada sem flambagem elástica.
  • \sigma_{\text{ap}}\approx 20{,}78\\ \mathrm{MPa} < \sigma_{cr}\approx 79{,}63\\ \mathrm{MPa} e também <\sigma_{\text{e}}=210\\ \mathrm{MPa}. Ou seja, a tensão real está bem abaixo tanto da tensão crítica de flambagem quanto do escoamento.
Como o menor perfil já atende, não é necessário verificar perfis maiores para a condição de sustentação. (Se o menor não atendesse, repetiríamos o mesmo procedimento nos próximos perfis.)

Passo 6

Interpretação das “equações da norma para cargas concêntricas” (resumo prático aplicável aqui):
  • Para colunas longas (aqui \lambda>\lambda_{\text{lim}}) sujeitas a carga concêntrica, a carga crítica a ser usada é a carga de Euler P_{cr}. A verificação prática é comparar P_{\text{solicit}} com P_{cr} e também checar a tensão de projeto contra limites normativos (aqui usamos \sigma_{\text{ap}}<\sigma_{cr} e \sigma_{\text{ap}}<\sigma_{\text{e}} como checagens).
  • Como P_{cr} é maior que a carga aplicada e a tensão aplicada está longe do escoamento, o projeto pela regra de Euler é satisfatório para o perfil 35\times55\\ \mathrm{mm}.

Resposta

Perfil selecionado: 35\times55\\ \mathrm{mm}.
P_{cr}\approx 153{,}2\\ \mathrm{kN}.
Tensão crítica: \sigma_{cr}\approx 79{,}63\\ \mathrm{MPa}.
Tensão pela carga solicitada: \sigma_{\text{ap}}\approx 20{,}78\\ \mathrm{MPa}.
Classificação: coluna longa ( \lambda\approx 445{,}5>\lambda_{\text{lim}}\approx 274{,}12), portanto Euler é aplicável e o perfil atende a carga concêntrica de 40\\ \mathrm{kN}.

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