3.8 O tubo C D tem diâmetro externo de 80 mm e espessura de parede de 6 mm ; é feito de latão com tensão admissível de 40 MPa . A haste A B tem diâmetro d_{h}=56 \mathrm{~mm} e é feita de aço com tensão admissível ao cisalhamento de 55 MPa . Determinar o maior valor de momento torçor que pode ser aplicado ao conjunto.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tubo CD:
      • diâmetro externo d_{o}=80\\ \text{mm},
      • espessura de parede t=6\\ \text{mm},
      • material: latão, tensão admissível ao cisalhamento \tau_{adm,\text{latão}}=40\\ \text{MPa}ã.
    • Haste AB:
      • diâmetro d_{h}=56\\ \text{mm},
      • material: aço, tensão admissível ao cisalhamento \tau_{adm,\text{aço}}=55\\ \text{MPa}ç.
  • Informação geométrica que decorre dos dados:
    • raio externo do tubo r_{o}=\dfrac{d_{o}}{2}=40\\ \text{mm}.
    • diâmetro interno do tubo d_{i}=d_{o}-2t=80-2\cdot6=68\\ \text{mm}, logo raio interno r_{i}=\dfrac{d_{i}}{2}=34\\ \text{mm}.
    • raio da haste r_{h}=\dfrac{d_{h}}{2}=28\\ \text{mm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o maior valor do momento torçor T que pode ser aplicado ao conjunto (tubo + haste).

Passo 2

Escolha do modelo físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida e sem pular etapas).
  • Situação física assumida: a haste de aço e o tubo de latão estão rigidamente unidos coaxialmente, de modo que, quando um torque total T é aplicado ao conjunto, ambos têm a mesma rotação por unidade de comprimento (mesma taxa de torção \theta'). Essa é a hipótese habitual para um conjunto composto ligado (colado/engastado) coaxialmente.
  • Teoria básica (comentada):
    • Em um eixo circular submetido a torção, a deformação por corte (ângulo de cisalhamento por unidade de comprimento) em um ponto a distância r do centro é \gamma(r)=r\,\theta', onde \theta'=\dfrac{d\theta}{dx} é a taxa de torção.
    • A tensão de cisalhamento local é \tau(r)=G\,\gamma(r)=G\,r\,\theta', onde G é o módulo de cisalhamento do material.
    • O torque fornecido por uma seção circular é obtido integrando as contribuições de tensão: para um corpo circular (ou anelar) o resultado pode ser escrito em termos do momento polar de inércia (polar rigidity) J: T = G J\,\theta'.Isso significa que, para um componente com G e J, o torque naquele componente é T_i=G_i J_i\,\theta'.
    • Para o conjunto composto (duas peças ligadas coaxialmente), a taxa de torção é a mesma para ambas, logo o torque total é T = \theta'\, (G_{\text{aço}} J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}} J_{\text{latão}}).ççãã
    • A tensão máxima de cisalhamento em cada peça (no raio externo do respectivo corpo) é \tau_{i,\max} = G_i\, r_{i,\max}\,\theta' .Substituindo \theta'=\dfrac{T}{G_{\text{aço}} J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}} J_{\text{latão}}}ççãã obtemos uma expressão direta relacionando T e \tau_{i,\max}: \tau_{i,\max} = G_i\, r_{i,\max}\,\frac{T}{G_{\text{aço}} J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}} J_{\text{latão}}}.ççããInvertendo para T: T = \tau_{i,\max}\,\frac{G_{\text{aço}} J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}} J_{\text{latão}}}{G_i\, r_{i,\max}}.ççããEssa fórmula dá o valor de T que faz com que a peça i atinja sua tensão admissível. O máximo torque seguro para o conjunto é o menor desses valores (o primeiro componente a atingir seu admissível).
  • Dados que não vieram no enunciado e que precisamos assumir (valores típicos):
    • Módulo de cisalhamento do aço: G_{\text{aço}} \approx 80{,}000\\ \text{MPa}ç.
    • Módulo de cisalhamento do latão: G_{\text{latão}} \approx 40{,}000\\ \text{MPa}ã.
    • Observação empática: esses são valores típicos de referência para cálculos à prova; se a sua prova deu outros G, troque-os nas contas.

Passo 3

Fórmulas para os momentos polares J e cálculo dos J das duas peças (explicando cada passo).
  • Para um círculo sólido de raio a: J_{\text{sol}}=\frac{\pi a^4}{2}.Aqui J tem unidades \text{mm}^4 se a estiver em mm.
  • Para um tubo (anel) com raio externo r_o e interno r_i: J_{\text{anel}}=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4 - r_i^4\right).
  • Aplicando aos nossos dados:
    • Haste de aço (sólida), raio r_{h}=28\\ \text{mm}: J_{\text{aço}}=\frac{\pi}{2}(28^4).çCalcule 28^2=784, 28^4=784^2=614\,656. Então J_{\text{aço}}=\frac{\pi}{2}\cdot 614\,656 \approx 965\,507\\ \text{mm}^4.ç
    • Tubo de latão, r_o=40\\ \text{mm}, r_i=34\\ \text{mm}: J_{\text{latão}}=\frac{\pi}{2}\left(40^4-34^4\right).ãCalcule 40^4=2\,560\,000, 34^4=1\,336\,336, diferença =1\,223\,664. Então J_{\text{latão}}=\frac{\pi}{2}\cdot 1\,223\,664 \approx 1\,922\,056\\ \text{mm}^4.ã

Passo 4

Cálculo das rigidezes polares GJ e da soma necessária para dividir o torque.
  • Multiplicando G por J (tudo em \text{MPa}\cdot\text{mm}^4): G_{\text{aço}}J_{\text{aço}} = 80{,}000\cdot 965\,507 \approx 77\,240\,560\,000,çç
G_{\text{latão}}J_{\text{latão}} = 40{,}000\cdot 1\,922\,056 \approx 76\,882\,240\,000.ãã
  • Soma: G_{\text{aço}}J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}}J_{\text{latão}} \approx 154\,122\,800\,000.ççãã

Passo 5

Expressões para o torque que faz cada peça atingir sua tensão admissível e substituição dos números.
  • Fórmula (já deduzida): T_{i,\max} = \tau_{adm,i}\,\frac{G_{\text{aço}} J_{\text{aço}} + G_{\text{latão}} J_{\text{latão}}}{G_i\, r_{i}},ççããonde r_i é o raio externo da peça i (para aço r_{h}=28\\ \text{mm}; para latão r_{o}=40\\ \text{mm}).
  • Para a haste de aço ( \tau_{adm,\text{aço}}=55\\ \text{MPa}ç, G_{\text{aço}}=80{,}000\\ \text{MPa}ç, r_{h}=28\\ \text{mm}): T_{\text{aço}} = 55\cdot\frac{154\,122\,800\,000}{80{,}000\cdot 28}.çCalcule o denominador 80{,}000\cdot 28 = 2{,}240{,}000. Então T_{\text{aço}} \approx 55\cdot \frac{154\,122\,800\,000}{2{,}240{,}000} \approx 55\cdot 68\,805{,}5 \approx 3\,784\,295\\ \text{N}\cdot\text{mm}.çConvertendo para \text{N}\cdot\text{m}: T_{\text{aço}}\approx 3\,784{,}3\\ \text{N}\cdot\text{m}ç.
  • Para o tubo de latão ( \tau_{adm,\text{latão}}=40\\ \text{MPa}ã, G_{\text{latão}}=40{,}000\\ \text{MPa}ã, r_{o}=40\\ \text{mm}): T_{\text{latão}} = 40\cdot\frac{154\,122\,800\,000}{40{,}000\cdot 40}.ãDenominador 40{,}000\cdot 40 = 1{,}600{,}000. Portanto T_{\text{latão}} \approx 40\cdot \frac{154\,122\,800\,000}{1{,}600{,}000} \approx 40\cdot 96\,326{,}75 \approx 3\,853\,070\\ \text{N}\cdot\text{mm},ãisto é T_{\text{latão}}\approx 3\,853{,}1\\ \text{N}\cdot\text{m}ã.

Passo 6

Comparação e conclusão (interpretação didática).
  • O torque que faz o aço atingir seu limite é T_{\text{aço}}\approx 3{,}784{,}3\\ \text{N}\cdot\text{m}ç.
  • O torque que faz o latão atingir seu limite é T_{\text{latão}}\approx 3{,}853{,}1\\ \text{N}\cdot\text{m}ã.
  • O conjunto só pode suportar até o menor desses dois valores, porque ao aumentar o torque acima desse menor valor, uma das peças (a que atinge seu admissível primeiro) irá falhar.
  • Portanto o máximo torque admissível para o conjunto é T_{\max} = T_{\text{aço}} \approx 3{,}784{,}3\\ \text{N}\cdot\text{m}.ç

Resposta

T_{\max}\approx 3{,}78\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}

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