3.8 O tubo
tem diâmetro externo de 80 mm e espessura de parede de 6 mm ; é feito de latão com tensão admissível de 40 MPa . A haste
tem diâmetro
e é feita de aço com tensão admissível ao cisalhamento de 55 MPa . Determinar o maior valor de momento torçor que pode ser aplicado ao conjunto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Tubo
: - diâmetro externo
, - espessura de parede
, - material: latão, tensão admissível ao cisalhamento
.
- diâmetro externo
- Haste
: - diâmetro
, - material: aço, tensão admissível ao cisalhamento
.
- diâmetro
- Tubo
- Informação geométrica que decorre dos dados:
- raio externo do tubo
. - diâmetro interno do tubo
, logo raio interno . - raio da haste
.
- raio externo do tubo
- O que o enunciado pede:
- Determinar o maior valor do momento torçor
que pode ser aplicado ao conjunto (tubo + haste).
- Determinar o maior valor do momento torçor
Passo 2
Escolha do modelo físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida e sem pular etapas).
- Situação física assumida: a haste de aço e o tubo de latão estão rigidamente unidos coaxialmente, de modo que, quando um torque total
é aplicado ao conjunto, ambos têm a mesma rotação por unidade de comprimento (mesma taxa de torção ). Essa é a hipótese habitual para um conjunto composto ligado (colado/engastado) coaxialmente. - Teoria básica (comentada):
- Em um eixo circular submetido a torção, a deformação por corte (ângulo de cisalhamento por unidade de comprimento) em um ponto a distância
do centro é , onde é a taxa de torção. - A tensão de cisalhamento local é
, onde é o módulo de cisalhamento do material. - O torque fornecido por uma seção circular é obtido integrando as contribuições de tensão: para um corpo circular (ou anelar) o resultado pode ser escrito em termos do momento polar de inércia (polar rigidity)
: Isso significa que, para um componente com e , o torque naquele componente é . - Para o conjunto composto (duas peças ligadas coaxialmente), a taxa de torção é a mesma para ambas, logo o torque total é
- A tensão máxima de cisalhamento em cada peça (no raio externo do respectivo corpo) é
Substituindo obtemos uma expressão direta relacionando e : Invertendo para : Essa fórmula dá o valor de que faz com que a peça atinja sua tensão admissível. O máximo torque seguro para o conjunto é o menor desses valores (o primeiro componente a atingir seu admissível).
- Em um eixo circular submetido a torção, a deformação por corte (ângulo de cisalhamento por unidade de comprimento) em um ponto a distância
- Dados que não vieram no enunciado e que precisamos assumir (valores típicos):
- Módulo de cisalhamento do aço:
. - Módulo de cisalhamento do latão:
. - Observação empática: esses são valores típicos de referência para cálculos à prova; se a sua prova deu outros
, troque-os nas contas.
- Módulo de cisalhamento do aço:
Passo 3
Fórmulas para os momentos polares
e cálculo dos
das duas peças (explicando cada passo).
- Para um círculo sólido de raio
: Aqui tem unidades se estiver em mm. - Para um tubo (anel) com raio externo
e interno : - Aplicando aos nossos dados:
- Haste de aço (sólida), raio
: Calcule , . Então - Tubo de latão,
, : Calcule , , diferença . Então
- Haste de aço (sólida), raio
Passo 4
Cálculo das rigidezes polares
e da soma necessária para dividir o torque.
- Multiplicando
por (tudo em ):
- Soma:
Passo 5
Expressões para o torque que faz cada peça atingir sua tensão admissível e substituição dos números.
- Fórmula (já deduzida):
onde é o raio externo da peça (para aço ; para latão ). - Para a haste de aço (
, , ): Calcule o denominador . Então Convertendo para : . - Para o tubo de latão (
, , ): Denominador . Portanto isto é .
Passo 6
Comparação e conclusão (interpretação didática).
- O torque que faz o aço atingir seu limite é
. - O torque que faz o latão atingir seu limite é
. - O conjunto só pode suportar até o menor desses dois valores, porque ao aumentar o torque acima desse menor valor, uma das peças (a que atinge seu admissível primeiro) irá falhar.
- Portanto o máximo torque admissível para o conjunto é