3.6 Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares A B e B C são respectivamente 83 MPa e 48 MPa . O momento torçor aplicado em A é de 7,5 \mathrm{kN} . \mathrm{m}. Determinar o diâmetro necessário:
b) da barra B C.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro da barra BC. As informações fornecidas são (peguei estes números da imagem e do enunciado):
  • Tensão admissível da barra BC: \tau_{\text{adm,BC}} = 48\\ \text{MPa}.
  • Momento torçor aplicado em A: T_A = 7{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Momento aplicado no disco em B (retirado da imagem): T_B = 1{,}2\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Momentos mostrados nas posições C e D na imagem são T_C = 0{,}8\\ \text{kN}\cdot\text{m} e T_D = 0{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m} (não serão necessários para o cálculo do torque em BC, mas estão na figura).
    O que precisamos encontrar é: o diâmetro necessário da barra BC que não exceda a tensão admissível indicada.

Passo 2

Determinar o torque interno transmitido pela barra BC.
Raciocínio (equilíbrio por uma secção entre B e C): o torque transmitido nessa seção é igual ao momento aplicado em A menos o momento aplicado no disco em B (assumindo sinais conforme a figura). Portanto:
T_{BC} = T_A - T_B.
Substituindo os valores (usar vírgula decimal conforme pedido):
T_{BC} = 7{,}5 - 1{,}2 = 6{,}3\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Converter para unidades SI (newton-metro):
T_{BC} = 6{,}3\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Apresentar a fórmula que relaciona torque e tensão cortante máxima numa barra circular maciça sob torção, e explicar as grandezas.
Para uma barra circular maciça com diâmetro d:
  • o raio externo é c=\dfrac{d}{2},
  • o momento polar de inércia é J=\dfrac{\pi d^{4}}{32},
  • a tensão cortante máxima (na superfície) é dada por
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}.
Substituindo c e J obtemos a forma prática muito usada:
\tau_{\max}=\dfrac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Aqui:
  • \tau_{\max} é a tensão cortante máxima (em Pa),
  • T é o torque interno (em N·m),
  • d é o diâmetro da barra (em m).
Vou usar essa fórmula para encontrar o diâmetro que faz \tau_{\max}=\tau_{\text{adm,BC}}.

Passo 4

Isolar d a partir da fórmula e aplicar os valores numéricos.
Partindo de
\tau_{\text{adm,BC}}=\dfrac{16\,T_{BC}}{\pi d^{3}},
temos
d^{3}=\dfrac{16\,T_{BC}}{\pi\,\tau_{\text{adm,BC}}}.
Substituindo os valores (usar unidades SI: T_{BC}=6{,}3\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}, \tau_{\text{adm,BC}}=48\times10^{6}\\ \text{Pa}):
d^{3}=\dfrac{16\cdot\bigl(6{,}3\times10^{3}\bigr)}{\pi\cdot\bigl(48\times10^{6}\bigr)} =\dfrac{100{,}8\times10^{3}}{150{,}796{,}447{,}...} \approx 6{,}685\times10^{-4}\\ \text{m}^{3}.
Tomando a raiz cúbica de d^{3} obtém-se o diâmetro d em metros (o cálculo numérico da raiz cúbica é a etapa final; ver a seção de resposta para o valor arredondado).

Passo 5

Interpretação e observação prática.
  • Como isso é um projeto prático, após obter o diâmetro numérico convém arredondar para cima ao próximo tamanho comercial disponível, para garantir segurança extra.
  • Se for necessário também verificar torção em AB (ou em outras seções), procederia-se de forma análoga usando os torques apropriados naquelas seções e as tensões admissíveis correspondentes.

Resposta

87,3 mm

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