3.1 a) Determinar o momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de 80 mm de diâmetro sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa . b) Resolver a parte a adotando um eixo de secção vazada de mesma massa e de 80 mm de diâmetro interno.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede (a) o maior momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de diâmetro \,80\\ \text{mm}\, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível \,60\\ \text{MPa}\,.
  • Pede (b) resolver a mesma parte (a) adotando um eixo de secção vazada que tenha a mesma massa do eixo maciço e cuja diâmetro interno seja \,80\\ \text{mm}\,.
Dados importantes (retirados do enunciado):
  • Diâmetro do eixo maciço: \,d=80\\ \text{mm}\,.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \,\tau_{\text{adm}}=60\\ \text{MPa}=60\\ \text{N/mm}^2\,.
  • Para a parte (b): diâmetro interno do eixo vazado \,D_i=80\\ \text{mm}\, e o eixo vazado tem a mesma massa (mesma área de secção) do eixo maciço da parte (a).
Objetivo de cálculo (resumido):
  • Calcular o momento de torção máximo T tal que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse \tau_{\text{adm}}, primeiro para o eixo maciço e depois para o eixo vazado com as condições dadas.

Passo 2

Princípios e fórmulas necessárias (explicadinhas, devagar e sem enrolar):
  1. Lei básica da torção para uma seção circular:
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima na superfície (unidade \text{N/mm}^2 ou \text{MPa}),
  • T é o momento de torção (unidade \text{N}\cdot\text{mm} se usarmos mm),
  • c é o raio externo da seção (para círculo maciço c=d/2, para anel c=D_o/2),
  • J é o momento polar de inércia da área (unidade \text{mm}^4).
Essa fórmula vem da distribuição linear da tensão com o raio em torção: \tau(r)=T r /J, e o máximo acontece em r=c.
  1. Momentos polares para secção circular:
  • Para eixo maciço de diâmetro d:
J_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{32}\,d^4.ç
  • Para eixo vazado com diâmetro externo D_o e interno D_i:
J_{\text{vazado}}=\dfrac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right).
  1. Estratégia prática:
  • Resolver a partir de \tau_{\text{adm}}=\dfrac{T\,c}{J} isolando T:
T=\tau_{\text{adm}}\dfrac{J}{c}.
  • Trabalhar em unidades mm e N/mm^2 para obter T em \text{N}\cdot\text{mm}; depois converter para \text{N}\cdot\text{m} dividindo por 1000.

Passo 3

Parte (a): cálculo para o eixo maciço \,d=80\\ \text{mm}\,.
  1. Calcular J_{\text{maciço}}ç:
J_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{32}d^4=\dfrac{\pi}{32}\,80^4.ç
Calculemos 80^4:
80^2=6400,\qquad 80^4=6400^2=40960000.
Logo
J_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{32}\cdot 40960000=1280000\pi\\ \text{mm}^4\approx 4021238{,}59\\ \text{mm}^4.ç
  1. Raio externo c:
c=\dfrac{d}{2}=\dfrac{80}{2}=40\\ \text{mm}.
  1. Usar T=\tau_{\text{adm}}\,\dfrac{J}{c}:
T=\;60\\ \text{N/mm}^2\;\cdot\dfrac{4021238{,}59\\ \text{mm}^4}{40\\ \text{mm}}.
Fazendo a conta:
T\approx 60\cdot \dfrac{4021238{,}59}{40}=60\cdot 100530{,}96475 \approx 6031857{,}88\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  1. Converter para \text{N}\cdot\text{m} dividindo por 1000:
T\approx \dfrac{6031857{,}88}{1000}=6031{,}86\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação amigável: deu cerca de 6{,}03\\ \text{kN}\cdot\text{m}. Segura essa, que vem mais forte na parte (b)!

Passo 4

Parte (b): eixo vazado com mesma massa que o maciço e com diâmetro interno \,D_i=80\\ \text{mm}\,.
  1. “Mesma massa” implica mesma área de seção transversal (mesma massa por comprimento). Área do maciço:
A_{\text{maciço}}=\dfrac{\pi}{4}d^2=\dfrac{\pi}{4}\,80^2=\dfrac{\pi}{4}\cdot 6400=1600\pi\\ \text{mm}^2.ç
Área do vazado:
A_{\text{vazado}}=\dfrac{\pi}{4}\left(D_o^2-D_i^2\right).
Igualando áreas (mesma massa):
\dfrac{\pi}{4}\left(D_o^2-D_i^2\right)=1600\pi\quad\Rightarrow\quad D_o^2-D_i^2=6400.
Como \,D_i=80\\ \text{mm}\Rightarrow D_i^2=6400, obtemos
D_o^2=6400+6400=12800 \quad\Rightarrow\quad D_o=\sqrt{12800}=80\sqrt{2}\approx 113{,}14\\ \text{mm}.
Raio externo do vazado:
c=\dfrac{D_o}{2}=\dfrac{80\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{2}\approx 56{,}57\\ \text{mm}.
  1. Calcular J_{\text{vazado}}. Observação prática: como D_o^2=2\cdot 80^2, fica fácil:
D_o^4=(D_o^2)^2=(2\cdot 80^2)^2=4\cdot 80^4, \qquad D_i^4=80^4.
Portanto
D_o^4-D_i^4=4\cdot 80^4-1\cdot 80^4=3\cdot 80^4.
Lembrando 80^4=40960000,
D_o^4-D_i^4=3\cdot 40960000=122880000.
Então
J_{\text{vazado}}=\dfrac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right)=\dfrac{\pi}{32}\cdot 122880000=3840000\pi\\ \text{mm}^4\approx 12063715{,}78\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Cálculo do momento de torção máximo para o eixo vazado:
Usar novamente
T=\tau_{\text{adm}}\dfrac{J_{\text{vazado}}}{c}.
Substituindo números:
T=60\cdot\dfrac{12063715{,}78}{56{,}5685425}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Fazendo a conta:
T\approx 60\cdot 213390{,}511 \approx 12795430{,}66\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Convertendo para \text{N}\cdot\text{m}:
T\approx \dfrac{12795430{,}66}{1000}=12795{,}43\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário motivador: o eixo vazado, apesar de ter o mesmo peso (mesma área), aceita um torque bem maior — aqui cerca do dobro — porque o material está mais afastado do centro (maior J relativo ao raio), o que melhora a resistência à torção.

Resposta

a) T_{\max}\approx6031{,}86\\ \mathrm{N\cdot m}
b) T_{\max}\approx12795{,}43\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados