3.1 a) Determinar o momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de 80 mm de diâmetro sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa . b) Resolver a parte a adotando um eixo de secção vazada de mesma massa e de 80 mm de diâmetro interno.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede (a) o maior momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de diâmetro
sem exceder a tensão de cisalhamento admissível . - Pede (b) resolver a mesma parte (a) adotando um eixo de secção vazada que tenha a mesma massa do eixo maciço e cuja diâmetro interno seja
.
Dados importantes (retirados do enunciado):
- Diâmetro do eixo maciço:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Para a parte (b): diâmetro interno do eixo vazado
e o eixo vazado tem a mesma massa (mesma área de secção) do eixo maciço da parte (a).
Objetivo de cálculo (resumido):
- Calcular o momento de torção máximo
tal que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse , primeiro para o eixo maciço e depois para o eixo vazado com as condições dadas.
Passo 2
Princípios e fórmulas necessárias (explicadinhas, devagar e sem enrolar):
- Lei básica da torção para uma seção circular:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima na superfície (unidade ou ), -
é o momento de torção (unidade se usarmos mm), -
é o raio externo da seção (para círculo maciço , para anel ), -
é o momento polar de inércia da área (unidade ).
Essa fórmula vem da distribuição linear da tensão com o raio em torção:
, e o máximo acontece em
.
- Momentos polares para secção circular:
- Para eixo maciço de diâmetro
:
- Para eixo vazado com diâmetro externo
e interno :
- Estratégia prática:
- Resolver a partir de
isolando :
- Trabalhar em unidades mm e N/mm^2 para obter
em ; depois converter para dividindo por .
Passo 3
Parte (a): cálculo para o eixo maciço
.
- Calcular
:
Calculemos
:
Logo
- Raio externo
:
- Usar
:
Fazendo a conta:
- Converter para
dividindo por :
Observação amigável: deu cerca de
. Segura essa, que vem mais forte na parte (b)!
Passo 4
Parte (b): eixo vazado com mesma massa que o maciço e com diâmetro interno
.
- “Mesma massa” implica mesma área de seção transversal (mesma massa por comprimento). Área do maciço:
Área do vazado:
Igualando áreas (mesma massa):
Como
, obtemos
Raio externo do vazado:
- Calcular
. Observação prática: como , fica fácil:
Portanto
Lembrando
,
Então
Passo 5
Cálculo do momento de torção máximo para o eixo vazado:
Usar novamente
Substituindo números:
Fazendo a conta:
Convertendo para
:
Comentário motivador: o eixo vazado, apesar de ter o mesmo peso (mesma área), aceita um torque bem maior — aqui cerca do dobro — porque o material está mais afastado do centro (maior
relativo ao raio), o que melhora a resistência à torção.
Resposta
a)
b)