O
dos tubos produzidos por certa fábrica são defeituosos. O tempo de vida
de um tubo defeituoso é uma v. a. exponencial com média 0,5 (anos), enquanto o tempo de vida
de um tubo não defeituoso é uma v. a. exponencial com média 2 (anos). Qual é a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure
No máximo 2 anos
No máximo 2 anos
Passo 1
O enunciado descreve uma mistura de duas populações de tubos: 5 % são defeituosos, com tempo de vida
de média 0,5 ano, e 95 % não defeituosos, com
de média 2 anos. Queremos a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure no máximo 2 anos, ou seja,
. Vamos usar a lei da probabilidade total e a função distribuição da exponencial.
Passo 2
Definindo o evento
= “tubo defeituoso”, temos
e
.
Pela lei da probabilidade total,
Pela lei da probabilidade total,
Passo 3
Como a média de
é 0,5, o parâmetro da taxa é
Para a exponencial vale
Passo 4
Como a média de
é 2, o parâmetro da taxa é
Logo
Passo 5
Substituindo na lei total obtém-se
Passo 6
Para um valor aproximado usemos
e
. Então