O 5 \% dos tubos produzidos por certa fábrica são defeituosos. O tempo de vida T de um tubo defeituoso é uma v. a. exponencial com média 0,5 (anos), enquanto o tempo de vida T_{1} de um tubo não defeituoso é uma v. a. exponencial com média 2 (anos). Qual é a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure
No máximo 2 anos

Passo 1

O enunciado descreve uma mistura de duas populações de tubos: 5 % são defeituosos, com tempo de vida T\mid D\sim\mathrm{Exp}(\lambda_D) de média 0,5 ano, e 95 % não defeituosos, com T\mid D^c\sim\mathrm{Exp}(\lambda_{D^c}) de média 2 anos. Queremos a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure no máximo 2 anos, ou seja, P(T\le2). Vamos usar a lei da probabilidade total e a função distribuição da exponencial.

Passo 2

Definindo o evento D = “tubo defeituoso”, temos P(D)=0,05 e P(D^c)=0,95.
Pela lei da probabilidade total,
P(T\le2) = P(D)\,P(T\le2\mid D) + P(D^c)\,P(T\le2\mid D^c).

Passo 3

Como a média de T\mid D é 0,5, o parâmetro da taxa é
\lambda_D = \frac{1}{0,5} = 2.
Para a exponencial vale
P(T\le2\mid D)=1-e^{-\lambda_D\cdot2}=1-e^{-2\cdot2}=1-e^{-4}.

Passo 4

Como a média de T\mid D^c é 2, o parâmetro da taxa é
\lambda_{D^c} = \frac{1}{2} = 0,5.
Logo
P(T\le2\mid D^c)=1-e^{-\lambda_{D^c}\cdot2}=1-e^{-0,5\cdot2}=1-e^{-1}.

Passo 5

Substituindo na lei total obtém-se
P(T\le2) =0,05\,(1-e^{-4})+0,95\,(1-e^{-1}).

Passo 6

Para um valor aproximado usemos e^{-4}\approx0,0183 e e^{-1}\approx0,3679. Então
P(T\le2)\approx0,05\times0,9817+0,95\times0,6321\approx0,6496.

Resposta

P(T\le2)=0,05\,(1-e^{-4})+0,95\,(1-e^{-1})\approx0,6496.

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