1. Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 \mathrm{~cm}. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
    (a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.
    (b) Calcular E(X) e V(X).
    R. (a)
    F(x)=0, x \leq 0, F(x)=(6 \sqrt{3}-x) x / 27,0<x<3 \sqrt{3}, F(x)=1, x \geq 3 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado diz que um ponto é escolhido uniformemente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 cm e altura h=3\sqrt{3} cm. Definimos X como a distância desse ponto à base. Para achar a f.d.a. F(x) e a d.f.p. f(x) de X, vamos usar probabilidade geométrica:
– calcular a área dos pontos cuja distância à base seja ≤ x;
– dividir pela área total do triângulo;
– depois derivar para obter f(x).
Em seguida, usaremos as fórmulas de momento para obter E(X) e V(X).

Passo 2

Seja o eixo y medido da base y=0 até o vértice y=h. A largura do triângulo na altura y é
w(y)=L\Bigl(1-\frac{y}{h}\Bigr)=6\Bigl(1-\frac{y}{3\sqrt{3}}\Bigr).
A área dos pontos com X\le x (isto é, 0\le y\le x) é
A(x)=\int_{0}^{x}w(y)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{x}6\Bigl(1-\frac{y}{3\sqrt{3}}\Bigr)\mathrm{d}y =6\Bigl[x-\frac{x^2}{6\sqrt{3}}\Bigr] =6x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}.
A área total do triângulo é
A_{\text{tot}}=\frac{L\,h}{2}=\frac{6\cdot3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}.
Logo a f.d.a. para 0<x<h é
F(x)=P(X\le x)=\frac{A(x)}{A_{\text{tot}}} =\frac{6x-\dfrac{x^2}{\sqrt{3}}}{9\sqrt{3}} =\frac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}.

Passo 3

Colocando em forma de peça:
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\[6pt] \displaystyle \frac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\[6pt] 1, & x\ge3\sqrt{3}. \end{cases}]

Passo 4

A densidade é a derivada de F(x) em 0<x<3\sqrt{3}:
f(x)=F'(x) =\frac{6\sqrt{3}-2x}{27}, \quad f(x)=0\text{ para }x\le0\text{ ou }x\ge3\sqrt{3}.

Passo 5

Para os momentos, use
E(X)=\int_{0}^{h}x\,f(x)\,\mathrm{d}x, \quad E(X^2)=\int_{0}^{h}x^2\,f(x)\,\mathrm{d}x, \quad V(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2.
Fazendo as integrais com h=3\sqrt{3} chega-se a
E(X)=\sqrt{3},\qquad E(X^2)=\frac{9}{2},
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V(X)=\frac{9}{2}-\bigl(\sqrt{3}\bigr)^2 =\frac{9}{2}-3 =\frac{3}{2}.

Resposta

(a)
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\[4pt] \dfrac{(6\sqrt{3}-x)\,x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\[4pt] 1, & x\ge3\sqrt{3}, \end{cases}
f(x)= \begin{cases} \dfrac{6\sqrt{3}-2x}{27}, & 0<x<3\sqrt{3},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(b)
E(X)=\sqrt{3}\text{ cm}, \qquad V(X)=\frac{3}{2}\text{ cm}^2.]

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