Em uma tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 m de comprimento, determine a perda de carga na qual escoa glicerina ( \mu = 9,6 \times 10^{-1} \mathrm{~N} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=1258 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}) com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Determine a tensão de cisalhamento na parede da tubulação, (b) o gradiente de pressão da tubulação, (c) a equação apropriada para graficar o perfil de velocidade e (e) o valor da velocidade para $\mathrm{r}=\mathrm{R} / 2.

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga em tubulação de diâmetro interno \,D=150\text{ mm} e comprimento L=30\text{ m}, onde escoa glicerina \mu=9{,}6\times10^{-1}\,\mathrm{N\,s/m^2}, \rho=1258\,\mathrm{kg/m^3} com velocidade média \,V=4\,\mathrm{m/s}. Vamos tratar como escoamento totalmente desenvolvido e laminar (pois a glicerina é bem viscosa) e usar a teoria de Hagen–Poiseuille para tubo circular. Precisamos calcular:
a) tensão de cisalhamento na parede \tau_w,
b) gradiente de pressão -dp/dx,
c) equação do perfil de velocidade u(r),
e) valor de u em r=R/2.

Passo 2

Primeiro verificamos se o escoamento é laminar, calculando o número de Reynolds
\mathrm{Re} =\frac{\rho\,V\,D}{\mu} =\frac{1258\cdot4\cdot0{,}15}{0{,}96} \approx786
Como \mathrm{Re}<2300, confirmamos escoamento laminar.

Passo 3

Para escoamento laminar em tubo, a tensão de cisalhamento na parede é
\tau_w =\frac{8\,\mu\,V}{D}
Substituindo valores,
\tau_w =\frac{8\cdot0{,}96\cdot4}{0{,}15} \approx204{,}8\;\mathrm{Pa}.

Passo 4

O gradiente de pressão para escoamento laminar em tubo é
-\frac{dp}{dx} =\frac{32\,\mu\,V}{D^2}
Logo,
-\frac{dp}{dx} =\frac{32\cdot0{,}96\cdot4}{(0{,}15)^2} \approx5461{,}3\;\mathrm{Pa/m}.

Passo 5

A equação geral do perfil de velocidade totalmente desenvolvido e laminar num cilindro de raio R=D/2 é
u(r) =-\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dx}\,\bigl(R^2-r^2\bigr)
ou, em forma normalizada,
u(r) =V_{\max}\,\Bigl[1-\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^2\Bigr] \quad\text{com}\quad V_{\max}=2\,V.

Passo 6

Em r=R/2, usando V_{\max}=2V=8\,\mathrm{m/s}, temos
u\Bigl(\tfrac{R}{2}\Bigr) =8\,\bigl[1-(\tfrac12)^2\bigr] =8\cdot\frac{3}{4} =6\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \tau_w\approx204{,}8\;\mathrm{Pa}.
(b) -dp/dx\approx5461{,}3\;\mathrm{Pa/m}.
(c) \displaystyle u(r)=-\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dx}\,(R^2-r^2)
(d) u\bigl(R/2\bigr)=6\;\mathrm{m/s}.

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